Raciocínio Lógico · Concurso PRF, PF, Polícia Penal, Detran
Equivalências lógicas e Leis de De Morgan (negação de proposições)
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Cai no edital de: Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Equivalências lógicas e Leis de De Morgan (negação de proposições)
Essência. Proposições equivalentes têm sempre o mesmo valor lógico. As Leis de De Morgan ensinam a negar conjunções e disjunções; a condicional tem equivalências e negação próprias.
- De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q · ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q ("nega tudo e troca e/ou"). Ex.: "Não é verdade que tem CNH e CRLV" ≡ "não tem CNH ou não tem CRLV".
- Condicional:
- Contrapositiva: p → q ≡ ¬q → ¬p. Ex.: "Se bebeu, não dirige" ≡ "Se dirige, não bebeu".
- Em disjunção: p → q ≡ ¬p ∨ q.
- Negação: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q ("mantém o primeiro, E, nega o segundo").
- Bicondicional: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p); negação: p ⊻ q.
- Dupla negação: ¬(¬p) ≡ p.
Exceções e distinções. A recíproca (q → p) e a inversa (¬p → ¬q) não são equivalentes a p → q. Só a contrapositiva é.
Pegadinha. "A negação de 'Se estudo, então passo' é 'Se não estudo, então não passo'" → errado: é "Estudo e não passo".
Lembre também: negar "todo" vira "algum… não"; negar "nenhum" vira "algum" (lógica de primeira ordem).
Visão geral
Questões de equivalência pedem para reescrever uma frase sem mudar o sentido lógico; questões de negação pedem a frase com valor oposto. Memorizar as quatro regras (De Morgan duas vezes, contrapositiva e negação da condicional) resolve a grande maioria.
Regra
| Proposição | Equivalente | Negação |
|---|---|---|
| p ∧ q | — | ¬p ∨ ¬q |
| p ∨ q | ¬p → q | ¬p ∧ ¬q |
| p → q | ¬q → ¬p · ¬p ∨ q | p ∧ ¬q |
| p ↔ q | (p→q) ∧ (q→p) | p ⊻ q |
Pontos-chave
- "Se chove, a rua molha" ≡ "Se a rua não molha, não chove" ≡ "Não chove ou a rua molha".
- Negação de "João é alto e magro": "João não é alto ou não é magro".
- Negação de "Vou à praia ou ao cinema": "Não vou à praia e não vou ao cinema".
Como a banca cobra
- Escolher a negação correta de uma condicional.
- Identificar a contrapositiva.
- Aplicar De Morgan numa frase do cotidiano.
- Detalhe que derruba: usar a recíproca como equivalente.
Revisão rápida
- De Morgan: nega e troca e/ou.
- p → q ≡ ¬q → ¬p.
- p → q ≡ ¬p ∨ q.
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q.
- Recíproca não é equivalente.
Mapa mental: Equivalências lógicas e Leis de De Morgan (negação de proposições)
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Flashcards de Equivalências lógicas e Leis de De Morgan (negação de proposições)
Tente lembrar antes de virar o card.
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Negação de p → q
p ∧ ¬q.
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Equivalentes de p → q
¬q → ¬p (contrapositiva) e ¬p ∨ q.
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Leis de De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q · ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q (nega cada parte e troca o conectivo).
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Equivalentes de p → q
¬q → ¬p (contrapositiva) e ¬p ∨ q. A recíproca (q → p) e a inversa (¬p → ¬q) não são equivalentes.
- Revelar resposta
Negação de p → q
p ∧ ¬q (mantém o antecedente e nega o consequente). Ex.: “Se bebeu, não dirige” → “Bebeu e dirige”.
- Revelar resposta
Leis de De Morgan
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q · ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q.
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Contrapositiva
p → q ≡ ¬q → ¬p.
- Revelar resposta
Condicional em disjunção
p → q ≡ ¬p ∨ q.
- Revelar resposta
Negação da condicional
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q.
- Revelar resposta
Recíproca e inversa
q → p e ¬p → ¬q não são equivalentes a p → q.
- Revelar resposta
De Morgan
¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q; ¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q.
- Revelar resposta
Equivalências da condicional
p→q ≡ ¬q→¬p ≡ ¬p∨q; ¬(p→q) ≡ p∧¬q; p↔q ≡ (p→q)∧(q→p). Não equivale a q→p nem a ¬p→¬q.
Questões de Equivalências lógicas e Leis de De Morgan (negação de proposições)
Questão 1 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
A negação de "O servidor chegou cedo e assinou o ponto" é:
- A)
O servidor não chegou cedo e não assinou o ponto.
- B)
O servidor não chegou cedo ou não assinou o ponto.
- C)
O servidor chegou tarde e assinou o ponto.
- D)
Se o servidor chegou cedo, então não assinou o ponto.
- E)
O servidor chegou cedo ou assinou o ponto.
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Lei de De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q. Nega-se cada parte e troca-se "e" por "ou".
- A)
Questão 2 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
A negação de "Se o documento está assinado, então o processo segue" é:
- A)
Se o documento não está assinado, então o processo não segue.
- B)
O documento não está assinado ou o processo segue.
- C)
O documento está assinado e o processo não segue.
- D)
Se o processo segue, então o documento está assinado.
- E)
O documento não está assinado e o processo não segue.
Revelar gabarito
Gabarito: letra C
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q: mantém o antecedente, troca por "e" e nega o consequente. "Se não está assinado, então não segue" é a inversa, que não é negação; "não está assinado ou segue" é equivalente à própria condicional.
- A)
Questão 3 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
É equivalente a "Se chove, então a rodovia fica escorregadia":
- A)
Se a rodovia fica escorregadia, então chove.
- B)
Se não chove, então a rodovia não fica escorregadia.
- C)
Chove e a rodovia não fica escorregadia.
- D)
Se a rodovia não fica escorregadia, então não chove.
- E)
Não chove e a rodovia fica escorregadia.
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
A contrapositiva ¬q → ¬p é equivalente a p → q. A recíproca e a inversa não são equivalentes; "Chove e a rodovia não fica escorregadia" é a negação.
- A)
Questão 4 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
É logicamente equivalente à proposição “Se o motorista bebeu, então não pode dirigir”:
- A)
Se o motorista não bebeu, então pode dirigir.
- B)
Se o motorista não pode dirigir, então bebeu.
- C)
O motorista bebeu e não pode dirigir.
- D)
Se o motorista pode dirigir, então não bebeu.
- E)
O motorista bebeu ou pode dirigir.
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
p → q equivale à contrapositiva ¬q → ¬p. Com p = “bebeu” e q = “não pode dirigir”, ¬q = “pode dirigir” e ¬p = “não bebeu”: “Se pode dirigir, então não bebeu”. Também seria equivalente “não bebeu ou não pode dirigir” (¬p ∨ q), o que não é (E). (A) é a inversa e (B) é a recíproca, ambas não equivalentes. (C) é uma conjunção.
- A)
Questão 5 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
A negação da proposição “O servidor estuda ou trabalha” é:
- A)
O servidor não estuda ou não trabalha.
- B)
O servidor estuda e trabalha.
- C)
Se o servidor estuda, então não trabalha.
- D)
O servidor estuda e não trabalha.
- E)
O servidor não estuda e não trabalha.
Revelar gabarito
Gabarito: letra E
Pela lei de De Morgan, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q: nega-se cada parte e troca-se “ou” por “e”. (A) é a negação de “estuda e trabalha”. (B) e (D) não negam a disjunção.
- A)