Estatística · Concurso PF
Testes de hipóteses, teste t e qui-quadrado
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Cai no edital de: Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF
Resumo: Testes de hipóteses, teste t e qui-quadrado
Essência. Um teste confronta a hipótese nula H₀ (status quo, contém a igualdade) com a alternativa H₁ usando a amostra. A decisão é rejeitar ou não rejeitar H₀.
| H₀ verdadeira | H₀ falsa | |
|---|---|---|
| Rejeita H₀ | erro tipo I (prob. α) | acerto (poder = 1 − β) |
| Não rejeita H₀ | acerto | erro tipo II (prob. β) |
- Nível de significância α = P(erro tipo I), fixado antes (ex.: 5%).
- p-valor: probabilidade, supondo H₀ verdadeira, de obter resultado tão ou mais extremo que o observado. Rejeita-se H₀ se p-valor ≤ α.
- Hipótese simples fixa um único valor (θ = θ₀); composta admite vários (θ > θ₀).
- Com n fixo, diminuir α aumenta β; aumentar n reduz os dois.
Testes do edital
- t de Student: compara médias com σ desconhecido (uma amostra, duas independentes, pareado).
- Qui-quadrado: compara frequências observadas e esperadas (aderência e independência).
Exceções e distinções. Não rejeitar H₀ não prova H₀ (falta evidência). O p-valor não é a probabilidade de H₀ ser verdadeira.
Pegadinha Cebraspe. "O nível de significância é a probabilidade de não rejeitar H₀ quando ela é falsa" → errado (isso é β).
Visão geral
Roteiro: (1) formular H₀ e H₁; (2) escolher α; (3) calcular a estatística de teste; (4) comparar com o valor crítico ou calcular o p-valor; (5) concluir no contexto. O teste é bilateral se H₁ é "≠" e unilateral se é "<" ou ">". Pelo lema de Neyman-Pearson, para hipóteses simples o teste mais poderoso se baseia na razão de verossimilhanças.
Regra
| Teste | Estatística | Graus de liberdade |
|---|---|---|
| t, uma amostra | t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) | n − 1 |
| t, duas amostras (variâncias iguais) | diferença de médias / erro padrão combinado | n₁ + n₂ − 2 |
| t pareado | média das diferenças / (s_d/√n) | n − 1 (n pares) |
| Qui-quadrado | χ² = Σ(O − E)²/E | aderência: k − 1 − parâmetros estimados; independência: (r − 1)(c − 1) |
Na tabela de contingência, a frequência esperada é E = (total da linha × total da coluna)/total geral. Regra prática: esperadas ≥ 5.
Pontos-chave
Exemplo (t). H₀: μ = 50; n = 16, x̄ = 52, s = 8.
- t = (52 − 50)/(8/4) = 1.
- Crítico bilateral a 5% com 15 g.l. ≈ 2,131 → não rejeita H₀.
Exemplo (qui-quadrado). Tabela 2 × 3 → (2 − 1)(3 − 1) = 2 g.l.
Qui-quadrado: estatística sempre ≥ 0; rejeita-se para valores grandes (cauda direita).
Pressupostos do t: amostras aleatórias, independência, população aproximadamente normal (ou n grande).
Como o Cebraspe cobra
- "Se o p-valor é 0,03, H₀ é rejeitada ao nível de 5%, mas não ao de 1%" → certo.
- "O poder do teste é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa" → certo.
- "O p-valor é a probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira" → errado.
- "No teste qui-quadrado de independência numa tabela 3 × 4, há 6 graus de liberdade" → certo.
- "Não rejeitar H₀ prova que ela é verdadeira" → errado.
Mapa mental: Testes de hipóteses, teste t e qui-quadrado
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Flashcards de Testes de hipóteses, teste t e qui-quadrado
Tente lembrar antes de virar o card.
- Revelar resposta
Erro tipo I × erro tipo II
Tipo I (α): rejeitar H₀ verdadeira. Tipo II (β): não rejeitar H₀ falsa. Poder = 1 − β.
- Revelar resposta
p-valor
Probabilidade, supondo H₀ verdadeira, de resultado tão ou mais extremo que o observado. Rejeita-se H₀ se p-valor ≤ α.
- Revelar resposta
Relação entre α, β e n
Com n fixo, diminuir α aumenta β; aumentar n reduz ambos.
- Revelar resposta
Teste t × qui-quadrado
t: compara médias com σ desconhecido. Qui-quadrado: frequências observadas × esperadas (aderência, independência).
- Revelar resposta
Não rejeitar H₀ prova H₀?
Não: apenas falta evidência para rejeitá-la. O p-valor também não é a probabilidade de H₀ ser verdadeira.
Questões de Testes de hipóteses, teste t e qui-quadrado
Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
O nível de significância de um teste é a probabilidade de não rejeitar H₀ quando ela é falsa.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Isso é β (erro tipo II); α é a probabilidade de rejeitar H₀ verdadeira.
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Com p-valor de 0,03 e nível de significância de 5%, rejeita-se a hipótese nula.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. p-valor ≤ α leva à rejeição de H₀.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
O p-valor corresponde à probabilidade de a hipótese nula ser verdadeira.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. É calculado supondo H₀ verdadeira, não é a probabilidade dela.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Mantido o tamanho da amostra, reduzir o nível de significância tende a aumentar a probabilidade de erro tipo II.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Com n fixo, α e β variam em sentidos opostos.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
O teste qui-quadrado de independência compara frequências observadas e esperadas em tabela de contingência.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. É a aplicação típica do qui-quadrado.