Estatística · Concurso PF

Intervalos de confiança e de credibilidade

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Cai no edital de: Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF

Resumo: Intervalos de confiança e de credibilidade

Essência. O intervalo de confiança (IC) dá uma faixa de valores plausíveis para um parâmetro: estimativa ± margem de erro.

Média, σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n.
Média, σ desconhecido: x̄ ± t(n − 1)·s/√n.
Proporção: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n).
z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%).

Amplitude do IC

Aumenta com o nível de confiança e com σ.
Diminui com n (na razão de √n).

Interpretação frequentista. O parâmetro é fixo; o intervalo é que varia de amostra para amostra. "95% de confiança" significa que 95% dos intervalos construídos pelo mesmo método conteriam o parâmetro. Depois de calculado, um intervalo contém ou não μ.

Intervalo de credibilidade (bayesiano). O parâmetro é tratado como aleatório, com distribuição a posteriori (priori × verossimilhança). Um intervalo de credibilidade de 95% tem probabilidade 0,95 de conter θ, dados os dados observados; aqui essa leitura é legítima.

Exceções e distinções. O IC para a variância usa qui-quadrado e não é simétrico em torno de s².

Pegadinha Cebraspe. "O IC de 95% [98; 102] indica que μ tem probabilidade 0,95 de estar entre 98 e 102" → errado na abordagem clássica.

Visão geral

A estimação intervalar acrescenta à estimativa pontual uma medida da sua precisão. A margem de erro E = z·σ/√n é a mesma usada para calcular o tamanho da amostra, e o IC tem relação direta com o teste de hipóteses bilateral.

Regra

Caso	Intervalo	Distribuição
μ, σ conhecido	x̄ ± z·σ/√n	normal
μ, σ desconhecido	x̄ ± t·s/√n	t com n − 1 g.l.
p	p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n)	normal (n grande)
σ²	[(n − 1)s²/χ²_sup ; (n − 1)s²/χ²_inf]	qui-quadrado com n − 1 g.l.

Pontos-chave

Exemplo. x̄ = 100, σ = 15, n = 225 → erro padrão = 15/15 = 1.

IC 95%: 100 ± 1,96 → [98,04; 101,96].
IC 99%: 100 ± 2,576 → [97,42; 102,58] (mais largo).
Com n = 900, o erro padrão cai para 0,5 e a margem de 95% para 0,98.

Relação com teste. Se o IC de 95% não contém μ₀, rejeita-se H₀: μ = μ₀ no teste bilateral a 5%; se contém, não se rejeita.

Bayesiano

Priori: crença antes dos dados. Posteriori ∝ priori × verossimilhança.
Intervalo HPD (maior densidade a posteriori): o mais curto com a credibilidade desejada.

Como o Cebraspe cobra

"Mantidos os demais fatores, aumentar o nível de confiança torna o intervalo mais largo" → certo.
"Quadruplicar o tamanho da amostra reduz a amplitude do IC pela metade" → certo.
"No intervalo de credibilidade, o parâmetro é tratado como variável aleatória" → certo.
"Com σ desconhecido e amostra pequena de população normal, usa-se a distribuição t com n − 1 graus de liberdade" → certo.
"O intervalo de confiança de 95% contém 95% das observações da amostra" → errado (refere-se ao parâmetro).

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Flashcards de Intervalos de confiança e de credibilidade

Tente lembrar antes de virar o card.

IC para média com σ conhecido
Revelar resposta
x̄ ± z·σ/√n (95%: z = 1,96). Com σ desconhecido: x̄ ± t(n − 1)·s/√n.
Amplitude do IC
Revelar resposta
Aumenta com o nível de confiança e com σ; diminui com n (na razão de √n).
Interpretação frequentista do IC de 95%
Revelar resposta
O parâmetro é fixo; 95% dos intervalos construídos pelo mesmo método conteriam o parâmetro. Um intervalo calculado contém ou não μ.
Intervalo de credibilidade (bayesiano)
Revelar resposta
Parâmetro tratado como aleatório: o intervalo de 95% tem probabilidade 0,95 de conter θ, dados os dados.
IC para variância
Revelar resposta
Usa a qui-quadrado e não é simétrico em torno de s².

Questões de Intervalos de confiança e de credibilidade

Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Na abordagem clássica, o intervalo de confiança de 95% [98; 102] indica que a média populacional tem probabilidade 0,95 de estar entre 98 e 102.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. O parâmetro é fixo; 95% refere-se ao método de construção dos intervalos.
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Mantidos os demais fatores, aumentar o nível de confiança de 95% para 99% torna o intervalo mais largo.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. O valor crítico passa de 1,96 para 2,576.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Com x̄ = 50, σ = 10 e n = 100, o intervalo de 95% para a média é aproximadamente [48,04; 51,96].
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. 50 ± 1,96 × 10/10 = 50 ± 1,96.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Quadruplicar o tamanho da amostra reduz pela metade a amplitude do intervalo de confiança para a média.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A amplitude é proporcional a 1/√n.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
O intervalo de confiança para a variância populacional, baseado na qui-quadrado, é simétrico em torno da variância amostral.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A qui-quadrado é assimétrica, e o intervalo também.

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