Estatística · Concurso PF

Variáveis aleatórias, esperança e variância

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Cai no edital de: Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF

Resumo: Variáveis aleatórias, esperança e variância

Essência. Variável aleatória (VA) é uma função que associa um número a cada resultado de um experimento aleatório. Pode ser discreta (valores contáveis: nº de acidentes) ou contínua (valores num intervalo: tempo, peso).

Função de probabilidade (discreta): p(x) = P(X = x), com p(x) ≥ 0 e Σp(x) = 1.
Função densidade (contínua): f(x) ≥ 0 e área total sob a curva = 1. Probabilidade = área: P(a ≤ X ≤ b). Para contínua, P(X = a) = 0.
Função de distribuição acumulada: F(x) = P(X ≤ x), não decrescente, de 0 a 1.
Esperança: E[X] = Σ x·p(x) (ou integral de x·f(x)). É a média de longo prazo.
Variância: Var(X) = E[X²] − (E[X])².

Propriedades que caem

E[aX + b] = a·E[X] + b; Var(aX + b) = a²·Var(X).
E[X + Y] = E[X] + E[Y] sempre.
Var(X ± Y) = Var(X) + Var(Y) ± 2·Cov(X, Y). Se X e Y são independentes, Cov = 0 e Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y) (soma, não subtrai).

Exceções e distinções. Independência implica covariância nula, mas covariância nula não implica independência (exceção: normal bivariada). Uma densidade pode assumir valores maiores que 1; o que não passa de 1 é a área.

Pegadinha Cebraspe. "Se X e Y são independentes, Var(X − Y) = Var(X) − Var(Y)" → errado.

Visão geral

Os itens 2.6 a 2.13 e 2.21b do edital tratam do mesmo núcleo: definir a VA, descrever sua distribuição (função de probabilidade, densidade ou acumulada), resumir com momentos (esperança, variância) e lidar com várias variáveis (distribuição conjunta, marginal, condicional, independência) e com transformações Y = g(X).

Regra

Conceito	Discreta	Contínua
Distribuição	p(x) = P(X = x)	f(x), densidade
Normalização	Σ p(x) = 1	área total = 1
P(a ≤ X ≤ b)	soma dos p(x)	área entre a e b
E[X]	Σ x·p(x)	∫ x·f(x) dx
E[g(X)]	Σ g(x)·p(x)	∫ g(x)·f(x) dx

Momentos: k-ésimo momento = E[Xᵏ]; momento central = E[(X − μ)ᵏ]. O 2º central é a variância; o 3º mede assimetria; o 4º, curtose.

Pontos-chave

Exemplo (dado honesto). E[X] = (1 + … + 6)/6 = 3,5. E[X²] = 91/6 ≈ 15,17. Var = 15,17 − 12,25 ≈ 2,92. Para Y = 2X + 1: E[Y] = 8 e Var(Y) = 4·2,92 ≈ 11,67.

Várias variáveis

Conjunta: p(x, y) = P(X = x, Y = y). Marginal: soma na outra variável.
Condicional: p(x | y) = p(x, y)/p_Y(y).
Independência: p(x, y) = p_X(x)·p_Y(y) para todos os pares; então E[XY] = E[X]·E[Y].
Covariância: Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]·E[Y].

Transformações

Discreta: P(Y = y) soma as probabilidades dos x com g(x) = y.
Linear contínua Y = aX + b: f_Y(y) = f_X((y − b)/a)/|a|.
Em geral, E[g(X)] ≠ g(E[X]) (ex.: E[X²] ≠ (E[X])², a diferença é a variância).

Como o Cebraspe cobra

"Para variável aleatória contínua, a probabilidade de assumir um valor específico é nula" → certo.
"Uma função densidade não pode assumir valores superiores a 1" → errado (só a área total é 1).
"Se Cov(X, Y) = 0, então X e Y são independentes" → errado (vale a recíproca).
"E[3X − 2] = 3·E[X] − 2" → certo.
"A esperança de uma soma é a soma das esperanças, ainda que as variáveis sejam dependentes" → certo.

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Flashcards de Variáveis aleatórias, esperança e variância

Tente lembrar antes de virar o card.

Variância de aX + b
Revelar resposta
Var(aX + b) = a²·Var(X); a constante b não altera. E[aX + b] = a·E[X] + b.
Var(X − Y) para X e Y independentes
Revelar resposta
Var(X) + Var(Y) (soma, não subtrai), pois a covariância é zero.
Probabilidade pontual em variável contínua
Revelar resposta
P(X = a) = 0; probabilidade é área sob a densidade num intervalo.
Covariância nula implica independência?
Revelar resposta
Não. Independência implica covariância nula, mas a recíproca falha (exceção: normal bivariada).
Variância por momentos
Revelar resposta
Var(X) = E[X²] − (E[X])².

Questões de Variáveis aleatórias, esperança e variância

Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então Var(X − Y) = Var(X) − Var(Y).
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Com independência, Var(X − Y) = Var(X) + Var(Y).
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Se X é variável aleatória contínua, a probabilidade de X assumir exatamente um valor específico é nula.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Em variável contínua, P(X = a) = 0.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Se E[X] = 2 e E[X²] = 13, então a variância de X é igual a 9.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Var(X) = 13 − 2² = 9.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Se a covariância entre X e Y é zero, então X e Y são necessariamente independentes.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Covariância nula não implica independência em geral.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
Se Var(X) = 4, então Var(3X + 5) = 41.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Var(3X + 5) = 9 × 4 = 36; a constante não altera a variância.

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