Estatística · Concurso PF
Regressão linear, ANOVA e análise de resíduos
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Resumo: Regressão linear, ANOVA e análise de resíduos
Essência. A regressão linear simples modela Y = β₀ + β₁X + ε, com erros ε independentes, de média zero, variância constante σ² e, para inferência, normais.
- Mínimos quadrados: escolhe a reta que minimiza Σ(yᵢ − ŷᵢ)². β̂₁ = Sxy/Sxx = r·s_Y/s_X; β̂₀ = ȳ − β̂₁·x̄. A reta passa por (x̄, ȳ).
- Máxima verossimilhança: com erros normais, dá os mesmos β̂ dos mínimos quadrados; o EMV de σ² divide por n (viesado). O estimador usual divide por n − 2 (QMRes).
- β̂₁ = variação média de Y quando X aumenta 1 unidade.
- Inferência: t = β̂₁/EP(β̂₁) com n − 2 g.l. testa H₀: β₁ = 0.
- ANOVA: SQT = SQReg + SQRes; F = QMReg/QMRes. Na simples, F = t².
- R² = SQReg/SQT: fração da variação de Y explicada pelo modelo; na simples, R² = r².
- Resíduos eᵢ = yᵢ − ŷᵢ somam zero (modelo com intercepto) e devem parecer aleatórios em torno de zero.
Exceções e distinções. R² alto não prova causalidade nem que o modelo é adequado. Na regressão múltipla, acrescentar variável nunca diminui R²; o R² ajustado penaliza variáveis inúteis. Prever fora da faixa observada de X (extrapolação) é arriscado.
Pegadinha Cebraspe. "Os estimadores de mínimos quadrados exigem que os erros sejam normais" → errado (a normalidade é exigida para os testes e intervalos, não para calcular as estimativas).
Visão geral
A regressão descreve como a média de Y muda com X e permite prever Y. O fluxo de análise: estimar a reta (4.1–4.2), testar e construir intervalos para os parâmetros (4.3), decompor a variação na tabela ANOVA (4.4) e checar os pressupostos pelos resíduos (4.5).
Regra
Tabela ANOVA (simples; múltipla com p preditores entre parênteses)
| Fonte | g.l. | SQ | QM | F |
|---|---|---|---|---|
| Regressão | 1 (p) | SQReg | SQReg/g.l. | QMReg/QMRes |
| Resíduo | n − 2 (n − p − 1) | SQRes | SQRes/g.l. | |
| Total | n − 1 | SQT |
Pontos-chave
Exemplo. x = 1, 2, 3, 4, 5; y = 2, 4, 5, 4, 5 (Sxy = 6, Sxx = 10, Syy = 6).
- β̂₁ = 6/10 = 0,6; β̂₀ = 4 − 0,6·3 = 2,2 → ŷ = 2,2 + 0,6x.
- SQT = 6; SQReg = β̂₁·Sxy = 3,6; SQRes = 2,4.
- R² = 3,6/6 = 0,6; QMRes = 2,4/3 = 0,8; F = 3,6/0,8 = 4,5; t = √4,5 ≈ 2,12.
Gráfico de resíduos × valores ajustados
- Faixa aleatória em torno de zero → pressupostos ok.
- Funil (espalhamento crescente) → heterocedasticidade.
- Curva → relação não linear.
- Padrão no tempo (Durbin-Watson) → autocorrelação.
- Gráfico QQ normal → checa normalidade.
- Pontos com alta alavancagem ou grande distância de Cook → influentes.
Múltipla: teste F global (algum βⱼ ≠ 0) e testes t individuais; variáveis explicativas muito correlacionadas → multicolinearidade (VIF alto).
Como o Cebraspe cobra
- "A reta de mínimos quadrados passa pelo ponto (x̄, ȳ)" → certo.
- "Na regressão simples, a estatística F da ANOVA é o quadrado da estatística t de β₁" → certo.
- "Resíduos com variância que cresce com os valores ajustados indicam heterocedasticidade" → certo.
- "R² igual a 0,64 significa que 64% dos valores de Y são previstos corretamente" → errado (64% da variação de Y é explicada).
- "Incluir uma variável explicativa pode reduzir o R² do modelo" → errado (o R² não diminui; o ajustado pode cair).
Mapa mental: Regressão linear, ANOVA e análise de resíduos
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Flashcards de Regressão linear, ANOVA e análise de resíduos
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- Revelar resposta
Estimadores de mínimos quadrados (regressão simples)
β̂₁ = Sxy/Sxx = r·s_Y/s_X; β̂₀ = ȳ − β̂₁·x̄. A reta passa por (x̄, ȳ).
- Revelar resposta
Coeficiente de determinação
R² = SQReg/SQT: fração da variação de Y explicada; na simples, R² = r².
- Revelar resposta
ANOVA da regressão simples
SQT = SQReg + SQRes; F = QMReg/QMRes; na simples, F = t² do teste de β₁.
- Revelar resposta
Normalidade dos erros é necessária?
Não para calcular os estimadores de MQ; é necessária para testes e intervalos.
- Revelar resposta
R² na regressão múltipla
Acrescentar variável nunca diminui R²; o R² ajustado penaliza variáveis inúteis.
Questões de Regressão linear, ANOVA e análise de resíduos
Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Os estimadores de mínimos quadrados da regressão linear exigem, para serem calculados, que os erros tenham distribuição normal.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A normalidade é exigida para inferência (testes e intervalos), não para o cálculo.
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
A reta de regressão ajustada por mínimos quadrados passa pelo ponto (x̄, ȳ).
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Decorre de β̂₀ = ȳ − β̂₁x̄.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Se x̄ = 10, ȳ = 50 e β̂₁ = 3, então β̂₀ = 20.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. β̂₀ = 50 − 3 × 10 = 20.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Na regressão múltipla, a inclusão de nova variável explicativa pode reduzir o coeficiente de determinação R².
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. R² nunca diminui; o R² ajustado pode diminuir.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
Na regressão linear simples, a estatística F da ANOVA é igual ao quadrado da estatística t do teste de β₁ = 0.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. F = t² na regressão simples.