Estatística · Concurso PF

Distribuição normal, padronização e regra empírica

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Resumo: Distribuição normal, padronização e regra empírica

Essência. A normal N(μ, σ²) é contínua, em forma de sino, simétrica em torno de μ, com média = mediana = moda. Fica definida por dois parâmetros: média μ (posição) e variância σ² (espalhamento).

Padronização: Z = (X − μ)/σ tem distribuição N(0, 1). Com Z se consulta a tabela.
Regra empírica (três sigma): cerca de 68% dos valores em μ ± 1σ, 95% em μ ± 2σ e 99,7% em μ ± 3σ.
Valores z úteis: 1,645 (90% central), 1,96 (95%), 2,576 (99%).
Curva: pontos de inflexão em μ ± σ; caudas se aproximam do eixo sem tocá-lo; área total = 1.
Soma de normais independentes é normal: X + Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²).

Exceções e distinções. A regra 68-95-99,7 vale para a normal. Para qualquer distribuição, vale só a desigualdade de Chebyshev: pelo menos 1 − 1/k² dos dados ficam a até k desvios da média (k = 2 → no mínimo 75%). Valores exatos: 68,27%, 95,45%, 99,73%.

Pegadinha Cebraspe. "Pela regra empírica, 95% dos dados de qualquer distribuição estão a até dois desvios da média" → errado (só na normal; em geral, ao menos 75%).

Visão geral

A normal descreve bem medidas que resultam da soma de muitos efeitos pequenos (altura, erro de medida) e é o limite das médias amostrais pelo teorema central do limite. Por isso aparece em intervalos de confiança, testes e nos erros do modelo de regressão.

Regra

Intervalo	Probabilidade aproximada	Fora (cada cauda)
μ ± 1σ	68%	16%
μ ± 2σ	95%	2,5%
μ ± 3σ	99,7%	0,15%

P(Z > 0) = 0,5; P(Z ≤ −z) = P(Z ≥ z) pela simetria.

Pontos-chave

Exemplo. Altura ~ N(170 cm, 10²).

P(160 < X < 180) = P(−1 < Z < 1) ≈ 68%.
P(X > 190) = P(Z > 2) ≈ (100% − 95,45%)/2 ≈ 2,3%.
Altura de 185 cm → z = 1,5 (1,5 desvio acima da média).

Transformação linear. Se X ~ N(μ, σ²), então aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²).

Aproximação normal da binomial. Com np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5, Binomial(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), com correção de continuidade (±0,5).

Escore z compara posições em distribuições diferentes: nota 80 (média 70, σ 5) tem z = 2; nota 90 (média 80, σ 10) tem z = 1 → a primeira é relativamente melhor.

Como o Cebraspe cobra

"Na distribuição normal, média, mediana e moda coincidem" → certo.
"Se X ~ N(50, 16), então P(X > 58) ≈ 2,5%" → certo pela regra empírica (σ = 4, z = 2; pela tabela, 2,3%).
"A distribuição normal padrão tem média 1 e variância 0" → errado (média 0, variância 1).
"Na normal, cerca de 99,7% das observações ficam a até três desvios da média" → certo.
"N(μ, σ²) com σ maior tem pico mais alto" → errado (curva mais achatada e espalhada).

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Flashcards de Distribuição normal, padronização e regra empírica

Tente lembrar antes de virar o card.

Regra empírica da normal (68-95-99,7)
Revelar resposta
Cerca de 68% em μ ± 1σ, 95% em μ ± 2σ e 99,7% em μ ± 3σ.
Padronização
Revelar resposta
Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1).
Valores z mais usados
Revelar resposta
1,645 (90% central), 1,96 (95%), 2,576 (99%).
Desigualdade de Chebyshev
Revelar resposta
Para qualquer distribuição: pelo menos 1 − 1/k² dos dados a até k desvios da média (k = 2 → ao menos 75%).
Soma de normais independentes
Revelar resposta
É normal: X + Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²).

Questões de Distribuição normal, padronização e regra empírica

Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Pela regra empírica, 95% dos dados de qualquer distribuição estão a até dois desvios padrão da média.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A regra vale para a normal; em geral, Chebyshev garante só ao menos 75%.
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Se X ~ N(100, 25), então P(X > 110) é aproximadamente 2,5%.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. σ = 5; 110 está a 2σ da média; fora de μ ± 2σ há cerca de 5%, metade em cada cauda.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Na distribuição normal, média, mediana e moda coincidem.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A normal é simétrica e unimodal.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Se X ~ N(10, 9) e Y ~ N(20, 16) são independentes, então X + Y tem desvio padrão igual a 7.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Var(X + Y) = 9 + 16 = 25; desvio padrão = 5.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
A variável Z = (X − μ)/σ, com X normal de média μ e desvio σ, tem distribuição normal padrão.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. É a padronização: Z ~ N(0, 1).

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