Estatística · Concurso PF

Lei dos grandes números, teorema central do limite e distribuições amostrais

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Resumo: Lei dos grandes números, teorema central do limite e distribuições amostrais

Essência. Uma amostra aleatória X₁, …, Xₙ tem variáveis independentes e identicamente distribuídas (média μ, variância σ²). Qualquer função da amostra (média, proporção, variância) é uma estatística e tem sua própria distribuição amostral.

Média amostral: E[X̄] = μ e Var(X̄) = σ²/n. Erro padrão = σ/√n.
Lei dos grandes números (LGN): à medida que n cresce, X̄ se aproxima de μ.
Teorema central do limite (TCL): para n grande, X̄ tem distribuição aproximadamente normal N(μ, σ²/n), qualquer que seja a distribuição da população (com variância finita). Regra prática: n ≥ 30.
Se a população já é normal, X̄ é normal para qualquer n.

Consequências

Para reduzir o erro padrão à metade, é preciso quadruplicar n.
Proporção amostral p̂: média p e erro padrão √(p(1 − p)/n).

Exceções e distinções. O TCL fala da distribuição da média (ou soma), não dos dados: uma amostra grande de população assimétrica continua assimétrica. A LGN não diz que os resultados "se compensam" no curto prazo (falácia do jogador).

Pegadinha Cebraspe. "Pelo TCL, com amostra grande, os dados observados passam a seguir distribuição normal" → errado (é a média amostral que fica aproximadamente normal).

Visão geral

Parâmetro é fixo e desconhecido (μ, σ², p); estatística é calculada na amostra e varia de amostra para amostra (X̄, S², p̂). A distribuição amostral descreve essa variação e é a base dos intervalos de confiança e dos testes de hipóteses.

Regra

Distribuições amostrais sob população normal

Estatística	Distribuição
(X̄ − μ)/(σ/√n), σ conhecido	normal padrão Z
(X̄ − μ)/(S/√n), σ desconhecido	t de Student com n − 1 g.l.
(n − 1)S²/σ²	qui-quadrado com n − 1 g.l.
S₁²/S₂² (σ₁ = σ₂)	F com (n₁ − 1, n₂ − 1) g.l.

A t é simétrica, com caudas mais pesadas que a normal, e tende à normal quando os graus de liberdade crescem. A qui-quadrado é assimétrica à direita e só assume valores positivos.

Pontos-chave

Exemplo. População com μ = 50 e σ = 12; amostra n = 36.

Erro padrão = 12/6 = 2.
P(X̄ > 54) = P(Z > 2) ≈ 2,3%.
Com n = 144, o erro padrão cai para 1.

LGN: versão fraca (convergência em probabilidade) e forte (convergência quase certa). Justifica estimar probabilidades por frequências relativas.

População finita sem reposição: multiplique a variância de X̄ pelo fator (N − n)/(N − 1); desprezível quando n é pequeno diante de N.

Como o Cebraspe cobra

"A variância da média amostral é σ²/n" → certo.
"Se a população é normal, a média amostral é normal apenas para n ≥ 30" → errado (é normal para qualquer n).
"Dobrar o tamanho da amostra reduz o erro padrão pela metade" → errado (reduz por √2).
"A distribuição t de Student tem caudas mais pesadas que a normal padrão" → certo.

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Flashcards de Lei dos grandes números, teorema central do limite e distribuições amostrais

Tente lembrar antes de virar o card.

Média amostral — esperança e variância
Revelar resposta
E[X̄] = μ; Var(X̄) = σ²/n; erro padrão = σ/√n.
Teorema central do limite
Revelar resposta
Para n grande, X̄ é aproximadamente N(μ, σ²/n), qualquer que seja a distribuição da população (variância finita).
Lei dos grandes números
Revelar resposta
Quando n cresce, X̄ se aproxima de μ. Não implica que resultados "se compensem" no curto prazo.
Reduzir o erro padrão à metade
Revelar resposta
É preciso quadruplicar n (erro padrão ∝ 1/√n).
O TCL torna os dados normais?
Revelar resposta
Não. Só a distribuição da média (ou soma) fica aproximadamente normal; os dados mantêm a forma da população.

Questões de Lei dos grandes números, teorema central do limite e distribuições amostrais

Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Pelo teorema central do limite, com amostra grande, os dados observados passam a seguir distribuição normal.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. É a média amostral que fica aproximadamente normal.
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Se a população tem desvio padrão 20, a média de uma amostra aleatória de tamanho 100 tem erro padrão igual a 2.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. σ/√n = 20/10 = 2.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Para reduzir à metade o erro padrão da média amostral, deve-se dobrar o tamanho da amostra.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. É preciso quadruplicar n.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Se a população é normal, a média amostral tem distribuição normal para qualquer tamanho de amostra.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Média de normais independentes é normal.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
A lei dos grandes números afirma que, à medida que o tamanho da amostra cresce, a média amostral tende à média populacional.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. É o enunciado da LGN.

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