Estatística · Concurso PF

Médias geométrica e harmônica, e coeficiente de variação

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Cai no edital de: Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF

Resumo: Médias geométrica e harmônica, e coeficiente de variação

Essência. O edital pede quatro médias (aritmética, ponderada, geométrica e harmônica) e quatro medidas de dispersão (amplitude, variância, desvio padrão e coeficiente de variação). Média aritmética, mediana, moda e desvio padrão estão no tópico de estatística descritiva; aqui ficam as demais e as propriedades.

Ponderada: Σ(pᵢ·xᵢ)/Σpᵢ.
Geométrica: MG = ⁿ√(x₁·x₂·…·xₙ). Use para taxas de crescimento sucessivas.
Harmônica: MH = n/Σ(1/xᵢ). Use para velocidades em trechos de mesma distância.
Desigualdade: para valores positivos, MA ≥ MG ≥ MH; igualdade só se todos os valores forem iguais.
Coeficiente de variação: CV = s/x̄ (em %). É adimensional e compara dispersões de variáveis com unidades ou médias diferentes.

Transformações lineares (y = a·x + b)

Somar b: média soma b; amplitude, variância e desvio padrão não mudam.
Multiplicar por a: média ×a; desvio padrão ×|a|; variância ×a².
CV não muda ao multiplicar; muda ao somar constante.

Exceções e distinções. Variância populacional divide por N; amostral divide por n − 1. Variância está em unidade ao quadrado; desvio padrão, na unidade original.

Pegadinha Cebraspe. "Somar 10 a todos os salários aumenta o desvio padrão em 10" → errado (o desvio não muda).

Visão geral

Cada média responde a uma pergunta diferente. Se um preço sobe 10% e depois 20%, a taxa média que reproduz o efeito total é a geométrica dos fatores 1,10 e 1,20. Se um carro vai a 60 km/h e volta a 40 km/h pela mesma estrada, a velocidade média é a harmônica (48 km/h), não 50 km/h.

Regra

Medida	Fórmula
Amplitude	máximo − mínimo
Variância populacional	σ² = Σ(xᵢ − μ)²/N
Variância amostral	s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)
Fórmula prática	σ² = média dos quadrados − (média)²
Desvio padrão	raiz da variância
CV	s/x̄

Pontos-chave

Exemplos

MG de 1,10 e 1,20 = √1,32 ≈ 1,1489 → crescimento médio ≈ 14,9% por período (não 15%).
MH de 60 e 40 = 2/(1/60 + 1/40) = 2/(5/120) = 48.
Para esses dois números: MA = 50, MG = √2400 ≈ 48,99, MH = 48. Para dois valores, MG² = MA·MH (2400 = 50·48).

Comparação por CV. Turma A: média 80, s = 8 → CV = 10%. Turma B: média 40, s = 6 → CV = 15%. B tem dispersão relativa maior, embora tenha desvio absoluto menor.

Propriedades da média aritmética

Soma dos desvios em relação à média = 0.
Soma dos quadrados dos desvios é mínima em relação à média.
Média é afetada por extremos; a geométrica exige valores positivos.

Como o Cebraspe cobra

"Para um conjunto de números positivos não todos iguais, a média harmônica é menor que a geométrica" → certo.
"Multiplicando todos os dados por 2, a variância também dobra" → errado (fica 4 vezes maior).
"O coeficiente de variação permite comparar a dispersão de variáveis medidas em unidades distintas" → certo.
"A velocidade média de ida a 60 km/h e volta a 40 km/h no mesmo percurso é 50 km/h" → errado (48 km/h).

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Flashcards de Médias geométrica e harmônica, e coeficiente de variação

Tente lembrar antes de virar o card.

Média geométrica — quando usar
Revelar resposta
MG = ⁿ√(x₁·…·xₙ). Para taxas de crescimento sucessivas (ex.: crescimento médio anual).
Média harmônica — quando usar
Revelar resposta
MH = n/Σ(1/xᵢ). Para velocidades em trechos de mesma distância.
Desigualdade das médias
Revelar resposta
Para valores positivos: MA ≥ MG ≥ MH; igualdade só se todos os valores forem iguais.
Coeficiente de variação
Revelar resposta
CV = s/x̄. Adimensional; compara dispersão de variáveis com unidades ou médias diferentes.
Efeito de y = a·x + b em média, desvio e variância
Revelar resposta
Somar b: média soma b; dispersão não muda. Multiplicar por a: média ×a, desvio ×|a|, variância ×a².

Questões de Médias geométrica e harmônica, e coeficiente de variação

Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Somar 10 reais a todos os salários de uma empresa aumenta em 10 reais o desvio padrão desses salários.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Somar constante desloca a média, mas não altera o desvio padrão.
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Um veículo que percorre metade de um trajeto a 60 km/h e a outra metade, de mesma distância, a 40 km/h tem velocidade média de 48 km/h.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Média harmônica: 2/(1/60 + 1/40) = 2/(5/120) = 48 km/h.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Para um conjunto de números positivos não todos iguais, a média geométrica é maior que a média aritmética.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Vale MA ≥ MG ≥ MH, com igualdade só se os valores forem iguais.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Multiplicar todos os valores de uma variável por 3 multiplica sua variância por 9.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Var(aX) = a²·Var(X).
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
O coeficiente de variação permite comparar a dispersão de variáveis medidas em unidades diferentes.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. O CV é adimensional.

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