Estatística · Concurso PF

Teorema da probabilidade total e regra de Bayes

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Resumo: Teorema da probabilidade total e regra de Bayes

Essência. Quando o espaço se divide em casos que não se sobrepõem e cobrem tudo (uma partição B₁, B₂, …, Bₙ), a probabilidade de um evento A se calcula caso a caso e a regra de Bayes permite inverter a condicional.

Probabilidade total: P(A) = Σ P(A | Bᵢ)·P(Bᵢ).
Bayes: P(Bᵢ | A) = P(A | Bᵢ)·P(Bᵢ) / P(A).
Independência: A e B são independentes se P(A ∩ B) = P(A)·P(B), o que equivale a P(A | B) = P(A).
Árvore de probabilidades: multiplique ao longo do ramo e some os ramos que levam ao evento.

Exemplo (teste de drogas). Prevalência 5%; o teste dá positivo em 90% dos usuários e em 10% dos não usuários.

P(+) = 0,90·0,05 + 0,10·0,95 = 0,045 + 0,095 = 0,14.
P(usuário | +) = 0,045/0,14 ≈ 32%.

Mesmo com teste "90% certeiro", a maioria dos positivos é falso positivo, porque a doença ou conduta é rara (taxa-base baixa).

Exceções e distinções. Eventos mutuamente exclusivos com probabilidade positiva não são independentes: se um ocorre, o outro não pode ocorrer. P(A | B) ≠ P(B | A): confundi-las é a falácia do promotor.

Pegadinha Cebraspe. "Se o teste acerta 90% dos usuários, a probabilidade de um positivo ser usuário é 90%" → errado (depende da prevalência).

Visão geral

A probabilidade condicional básica (P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B)) está no tópico de probabilidade do Raciocínio Lógico. Aqui o foco são problemas em duas etapas: primeiro sorteia-se a origem (máquina, grupo, estado), depois o resultado (defeito, teste positivo). A pergunta pode ser direta (P do resultado → probabilidade total) ou inversa (dado o resultado, qual a origem → Bayes).

Regra

Partição: Bᵢ disjuntos dois a dois e B₁ ∪ … ∪ Bₙ = espaço amostral.

Termo	Nome
P(Bᵢ)	probabilidade a priori
P(A \| Bᵢ)	verossimilhança
P(Bᵢ \| A)	probabilidade a posteriori
P(A)	probabilidade total (denominador)

Pontos-chave

Exemplo (fábrica). Máquina A produz 60% das peças com 2% de defeito; B produz 40% com 5%.

P(defeito) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032.
P(B | defeito) = 0,020/0,032 = 0,625. Embora B produza menos, é a origem mais provável de uma peça defeituosa.

Independência

Se A e B são independentes, também são A e Bᶜ, Aᶜ e B, Aᶜ e Bᶜ.
Três eventos são mutuamente independentes se valem as igualdades para cada par e para o trio; independência dois a dois não basta.

Roteiro

Identifique a partição e as prioris.
Anote as condicionais dadas.
Calcule P(A) pela total.
Divida o ramo pedido por P(A).

Como o Cebraspe cobra

"Eventos mutuamente exclusivos com probabilidades positivas são independentes" → errado.
"No exemplo da fábrica, a probabilidade de uma peça ser defeituosa é 3,2%" → certo.
"Pela regra de Bayes, P(A | B) = P(B | A)·P(A)/P(B)" → certo.
"Se P(A | B) = P(A), então A e B são independentes" → certo.

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Flashcards de Teorema da probabilidade total e regra de Bayes

Tente lembrar antes de virar o card.

Teorema da probabilidade total
Revelar resposta
P(A) = Σ P(A | Bᵢ)·P(Bᵢ), com B₁, …, Bₙ partição do espaço.
Regra de Bayes
Revelar resposta
P(Bᵢ | A) = P(A | Bᵢ)·P(Bᵢ) / P(A) — inverte a condicional.
Eventos independentes
Revelar resposta
P(A ∩ B) = P(A)·P(B), equivalente a P(A | B) = P(A).
Mutuamente exclusivos são independentes?
Revelar resposta
Não (se ambos têm probabilidade positiva): se um ocorre, o outro não pode ocorrer.
Taxa-base e falsos positivos
Revelar resposta
Com prevalência baixa, mesmo teste preciso gera maioria de falsos positivos: P(doente | +) depende da prevalência.

Questões de Teorema da probabilidade total e regra de Bayes

Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Se um teste detecta 90% dos usuários de drogas, a probabilidade de uma pessoa com resultado positivo ser usuária é de 90%, independentemente da prevalência do uso.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. P(usuário | +) depende da prevalência (Bayes); 90% é P(+ | usuário).
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Com prevalência de 5%, sensibilidade de 90% e taxa de falso positivo de 10%, a probabilidade de resultado positivo é igual a 0,14.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. 0,90 × 0,05 + 0,10 × 0,95 = 0,045 + 0,095 = 0,14.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Dois eventos mutuamente exclusivos, ambos com probabilidade positiva, são independentes.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Se um ocorre, o outro não pode ocorrer; logo P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B).
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
Se A e B são independentes, então P(A | B) = P(A).
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. É definição equivalente de independência.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
Se P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 e P(A ∩ B) = 0,2, os eventos A e B são independentes.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. P(A)P(B) = 0,2 = P(A ∩ B).

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