Estatística · Concurso PF
Distribuições uniforme, Bernoulli, binomial e Poisson
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Resumo: Distribuições uniforme, Bernoulli, binomial e Poisson
Essência. Distribuições especiais são modelos prontos: reconhecido o modelo, a probabilidade, a média e a variância saem de fórmula.
- Uniforme discreta (n valores igualmente prováveis): P = 1/n. Dado: E = 3,5.
- Uniforme contínua em [a, b]: f(x) = 1/(b − a); E = (a + b)/2; Var = (b − a)²/12.
- Bernoulli (um ensaio, sucesso com prob. p): E = p; Var = p(1 − p), máxima (0,25) com p = 0,5.
- Binomial (n, p): nº de sucessos em n ensaios independentes com p constante. P(X = k) = C(n,k)·pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ; E = np; Var = np(1 − p).
- Poisson (λ): nº de eventos num intervalo de tempo ou espaço (chamadas por hora, acidentes por km). P(X = k) = e^(−λ)·λᵏ/k!; E = Var = λ.
Exceções e distinções. Binomial exige ensaios independentes (com reposição); sem reposição em população pequena o modelo é a hipergeométrica. Poisson aproxima a binomial com n grande e p pequeno, usando λ = np. A Poisson é proporcional ao intervalo: se a taxa é 2 por hora, em 3 horas λ = 6.
Pegadinha Cebraspe. "Na distribuição de Poisson, a variância é igual ao quadrado da média" → errado (variância = média = λ).
Visão geral
O enunciado indica o modelo: "n tentativas, cada uma com sucesso ou fracasso" → binomial; "número de ocorrências por unidade de tempo/área, a uma taxa média" → Poisson; "todos os valores igualmente prováveis" → uniforme; "até o primeiro sucesso" → geométrica.
Regra
| Modelo | P(X = k) | E[X] | Var(X) |
|---|---|---|---|
| Bernoulli(p) | p (k = 1), 1 − p (k = 0) | p | p(1 − p) |
| Binomial(n, p) | C(n,k)·pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ | np | np(1 − p) |
| Poisson(λ) | e^(−λ)λᵏ/k! | λ | λ |
| Geométrica(p) | (1 − p)ᵏ⁻¹·p, k = 1, 2, … | 1/p | (1 − p)/p² |
| Uniforme [a, b] | f = 1/(b − a) | (a + b)/2 | (b − a)²/12 |
Pontos-chave
Exemplos
- Binomial n = 4, p = 0,5: P(X = 2) = 6·(0,5)⁴ = 6/16 = 0,375. E = 2; Var = 1.
- Binomial n = 100, p = 0,1 (abordagens com irregularidade): E = 10; Var = 9; DP = 3.
- Poisson λ = 2 acidentes/dia: P(X = 0) = e⁻² ≈ 0,135; P(X = 1) = 2e⁻² ≈ 0,271.
- Uniforme contínua em [0, 10]: P(2 < X < 5) = 3/10; Var = 100/12 ≈ 8,33.
Relações
- Binomial = soma de n Bernoulli independentes.
- Soma de Poisson independentes é Poisson (λ₁ + λ₂).
- Geométrica e exponencial têm falta de memória.
- Binomial com n grande aproxima-se da normal (np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5).
Como o Cebraspe cobra
- "Se X ~ Binomial(20; 0,3), então E[X] = 6 e Var(X) = 4,2" → certo.
- "Na binomial, a probabilidade de sucesso pode variar de um ensaio para outro" → errado (p é constante).
- "Se o número de chamadas segue Poisson com média 4 por hora, em meia hora a média é 2" → certo.
- "A variância de uma Bernoulli é máxima quando p = 0,5" → certo.
Mapa mental: Distribuições uniforme, Bernoulli, binomial e Poisson
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Flashcards de Distribuições uniforme, Bernoulli, binomial e Poisson
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- Revelar resposta
Binomial (n, p) — média e variância
E = np; Var = np(1 − p). Exige n ensaios independentes com p constante.
- Revelar resposta
Poisson (λ) — média e variância
E = Var = λ. Conta eventos num intervalo; λ é proporcional ao intervalo.
- Revelar resposta
Uniforme contínua em [a, b]
E = (a + b)/2; Var = (b − a)²/12.
- Revelar resposta
Bernoulli — variância máxima
Var = p(1 − p), máxima (0,25) com p = 0,5.
- Revelar resposta
Binomial sem reposição em população pequena
O modelo correto é a hipergeométrica. A Poisson aproxima a binomial com n grande e p pequeno (λ = np).
Questões de Distribuições uniforme, Bernoulli, binomial e Poisson
Questão 1 · Agente PF · Certo ou Errado
Na distribuição de Poisson, a variância é igual ao quadrado da média.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Na Poisson, variância = média = λ.
Questão 2 · Agente PF · Certo ou Errado
Se X segue distribuição binomial com n = 100 e p = 0,2, então a variância de X é igual a 16.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Var = np(1 − p) = 100 × 0,2 × 0,8 = 16.
Questão 3 · Agente PF · Certo ou Errado
Se ocorrem, em média, 2 acidentes por hora segundo um processo de Poisson, o número esperado de acidentes em 3 horas é 6.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. λ é proporcional ao intervalo: 2 × 3 = 6.
Questão 4 · Agente PF · Certo ou Errado
A variância de uma variável uniforme contínua no intervalo [0, 6] é igual a 3.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Var = (6 − 0)²/12 = 3.
Questão 5 · Agente PF · Certo ou Errado
Retiradas sem reposição de uma urna com poucas bolas seguem distribuição binomial, pois a probabilidade de sucesso permanece constante.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Sem reposição, p muda a cada retirada; o modelo é a hipergeométrica.