Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF
Função afim (1º grau) e análise gráfica
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Resumo: Função afim (1º grau) e análise gráfica
Essência. f(x) = ax + b, gráfico reta. O Cebraspe usa como modelo linear (acidentes por ano, custo por km) e pede a taxa, uma previsão ou os cortes nos eixos.
- a = coeficiente angular = taxa de variação = Δy/Δx; mesma para qualquer par de pontos.
- b = coeficiente linear = f(0) → corta o eixo y em (0, b).
- Raiz: x = −b/a → corta o eixo x em (−b/a, 0).
- Sinal de a: a > 0 crescente; a < 0 decrescente; a = 0 constante.
- Linear (b = 0): passa pela origem → grandezas diretamente proporcionais.
- Previsão com anos: f(x) = f(x₁) + a(x − x₁), evita números grandes.
- Retas paralelas: mesmo a.
Exceções e distinções. F(2007) = 129.000 e F(2009) = 159.000 → a = 30.000/2 = 15.000 por ano; 2011 → 189.000. Guincho: R$ 80 fixos + R$ 3,50/km → f(x) = 3,5x + 80; 40 km = R$ 220. Com b ≠ 0 não há proporcionalidade direta.
Pegadinha Cebraspe. "f(x) = 2x − 6 corta o eixo x em (0, −6)" → errado: esse é o eixo y; no eixo x, (3, 0).
Lembre também: dividir a diferença de valores pela diferença de anos; conferir unidade (milhares no gráfico × unidades no modelo); não confundir coeficiente angular com linear.
Visão geral
Função afim: f(x) = ax + b. O gráfico é uma reta. O Cebraspe usa-a como modelo linear (ex.: acidentes por ano, custo por quilômetro) e pede o coeficiente angular, uma previsão ou os pontos de corte nos eixos.
Regra
- a (coeficiente angular / taxa de variação): a = Δy/Δx = [f(x₂) − f(x₁)] / (x₂ − x₁). Ex.: (1, 5) e (3, 11) → a = 6/2 = 3.
- b (coeficiente linear): valor de f(0) — ponto onde a reta corta o eixo y (0, b). Ex.: f(x) = 3x + 2 → (0, 2).
- Zero (raiz): f(x) = 0 → x = −b/a — ponto onde corta o eixo x (−b/a, 0). Ex.: 2x − 6 = 0 → x = 3.
- a > 0: crescente; a < 0: decrescente; a = 0: função constante (reta horizontal).
- Função linear é o caso b = 0 (passa pela origem): grandezas diretamente proporcionais.
Método
- Com dois pontos, calcule a pela razão das variações.
- Substitua um ponto para achar b (ou use a forma f(x) = f(x₁) + a(x − x₁), que evita números grandes como anos).
- Para prever, substitua o x pedido.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- F(2007) = 129.000 e F(2009) = 159.000 → A = 30.000 / 2 = 15.000 por ano (> 14.500 ✔). Previsão para 2011: 159.000 + 2 × 15.000 = 189.000.
- f(x) = 2x − 6 → corta o eixo y em (0, −6); zero: 2x = 6 → x = 3 → (3, 0).
| Pedido | Conta |
|---|---|
| Taxa de variação | Δy/Δx |
| Corte no eixo y | f(0) = b |
| Corte no eixo x | x = −b/a |
| Previsão | f(x₁) + a·(x − x₁) |
Aprofundamento
Forma: f(x) = ax + b. a = taxa de variação (coeficiente angular): a > 0 crescente, a < 0 decrescente, a = 0 constante. b = valor inicial (corta o eixo y em (0, b)). Raiz: x = −b/a.
- Taxa entre dois pontos: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) — é a mesma para qualquer par de pontos da reta.
- Proporcionalidade direta só quando b = 0 (função linear).
- Gráfico: reta. Duas retas são paralelas se têm o mesmo a; se cortam se a é diferente.
Exemplo: tarifa de guincho = R$ 80 fixos + R$ 3,50 por km. f(x) = 3,5x + 80. Para 40 km: 3,5·40 + 80 = R$ 220. Para gastar R$ 150: 3,5x = 70 → x = 20 km.
Exemplo (dois pontos): um veículo estava no km 12 às 8 h e no km 192 às 10 h (movimento uniforme): taxa = (192 − 12)/(10 − 8) = 90 km/h; posição s(t) = 12 + 90(t − 8).
Como o Cebraspe cobra
- Troca os eixos: diz que f(x) = 2x − 6 corta o eixo x em (0, −6) — errado (esse é o eixo y).
- Pede "A superior a ..." com dados em milhares no gráfico e em unidades no modelo: confira a unidade antes de comparar.
- Detalhe que torna o item errado: usar a diferença de valores sem dividir pela diferença de anos, ou confundir coeficiente angular com linear.
Revisão rápida
- f(x) = ax + b; gráfico reta.
- a = Δy/Δx = taxa de variação.
- b = f(0) = corte no eixo y.
- Raiz = −b/a = corte no eixo x.
- a > 0 cresce; a < 0 decresce.
- Use a forma f(x₁) + a(x − x₁) com anos.
Mapa mental: Função afim (1º grau) e análise gráfica
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Flashcards de Função afim (1º grau) e análise gráfica
Tente lembrar antes de virar o card.
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Função afim f(x) = ax + b: como obter a (a partir de dois pontos) e onde o gráfico corta os eixos?
a = Δy/Δx = [f(x₂) − f(x₁)]/(x₂ − x₁). Eixo y: (0, b), pois f(0) = b. Eixo x: raiz x = −b/a → (−b/a, 0). Pegadinha: não dividir pela diferença de x (ex.: anos) ou trocar os eixos.
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Valores que sobem e descem (não monótonos) podem ser ordenadas de pontos de uma função afim?
Não. Função afim é monótona: inclinação a > 0 → sempre crescente; a < 0 → sempre decrescente; a = 0 → constante. Pontos em abscissas equidistantes de uma afim formam PA. Pegadinha: 25, 75, 50, 150… oscila → não é afim.
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Função afim com domínio natural (f(x) = 325 − 7x, x = mês): como julgar gráfico, valor exato e totais?
Os pontos (x, f(x)) são colineares (estão sobre a reta y = ax + b, mesmo isolados). "Existe x com f(x) = k?" → resolva e confira se x é natural e está no domínio (x = 205/7 não serve). Valores mês a mês formam PA de razão a → total = n(f(1) + f(n))/2.
Questões de Função afim (1º grau) e análise gráfica
Questão 1 · Certo ou Errado
Considere a função f(x) = 2x − 6, que relaciona duas grandezas medidas em uma fiscalização de trânsito. O gráfico dessa função corta o eixo das ordenadas no ponto (0, −6) e o eixo das abscissas no ponto (3, 0).
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. f(0) = 2·0 − 6 = −6, logo o gráfico corta o eixo y em (0, −6); f(x) = 0 → 2x = 6 → x = 3, logo corta o eixo x em (3, 0). Ambas as afirmações do item conferem.