Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF, PF, Polícia Penal, Detran
Análise combinatória — PFC, arranjo, permutação e combinação
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Cai no edital de: PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Análise combinatória — PFC, arranjo, permutação e combinação
Essência. Contar possibilidades sem listar. Tudo se resolve com o princípio fundamental da contagem e uma pergunta: trocar a ordem dos escolhidos gera um resultado diferente?
- PFC: etapas sucessivas e independentes → multiplique; casos alternativos ("ou") → some.
- Fatorial: n! = n·(n − 1)·…·1; 0! = 1.
- Permutação (todos, ordem importa): Pₙ = n!. Com repetição (anagramas com letras repetidas): n!/(a!·b!·…). Circular: (n − 1)!. Ex.: anagramas de PRF = 3! = 6; de ARARA = 5!/(3!·2!) = 10.
- Arranjo (parte, ordem importa): A(n,p) = n!/(n − p)!. Ex.: pódio de 3 entre 10 = 10·9·8 = 720.
- Combinação (parte, ordem não importa): C(n,p) = n!/[p!(n − p)!].
- Atalho: C(n,p) = C(n, n − p) → C(8,5) = C(8,3) = 56.
- Método: escolhe todos ou parte? A ordem ou a função distingue os resultados? Trate primeiro as restrições (alguém fixo, dois juntos).
Exceções e distinções. Comissão, equipe, grupo sem cargos, aposta → combinação. Cargos distintos, pódio, senha, placa → arranjo ou PFC. Fila com todos ou anagrama → permutação. Equipe de 3 entre 8 sem funções: C(8,3) = 56; com funções distintas: A(8,3) = 336.
Pegadinha Cebraspe. Usar arranjo (336) quando o enunciado diz "sem distinção de função" → errado: é combinação (56).
Lembre também: palavras que decidem o item: "distintas funções", "ordem de chegada", "sem reposição"; troca de "e" (multiplica) por "ou" (soma).
Visão geral
Contar possibilidades sem listar. Todo item se resolve com o princípio fundamental da contagem (PFC) e a pergunta: trocar a ordem dos escolhidos gera um resultado diferente?
Regra
- PFC (multiplicativo): etapas sucessivas e independentes → multiplique as possibilidades de cada etapa. Casos alternativos ("ou") → some. Ex.: 3 camisas e 4 calças → 12 trajes.
- Fatorial: n! = n·(n − 1)·...·1; 0! = 1. Ex.: 4! = 24.
- Permutação simples (todos, ordem importa): Pₙ = n!
- Permutação com repetição: n!/(a!·b!·...) (anagramas com letras repetidas).
- Arranjo (parte, ordem importa): A(n,p) = n!/(n − p)!
- Combinação (parte, ordem não importa): C(n,p) = n!/[p!(n − p)!] (ex.: duplas entre 5 pessoas = C(5,2) = 10)
Método
- Escolhe todos ou parte? 2. A ordem/função distingue os resultados? Sim → arranjo/permutação; não → combinação. 3. Há restrição (alguém fixo, dois juntos)? Trate primeiro a restrição.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- Equipe de 3 entre 8, sem distinção de função: C(8,3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56.
- Se houvesse funções distintas (motorista, chefe, auxiliar): A(8,3) = 8·7·6 = 336.
- Equipe de 3 entre 7: C(7,3) = 35.
| Situação | Ferramenta |
|---|---|
| Comissão, equipe, grupo sem cargos | Combinação |
| Cargos distintos, pódio, senha, placa | Arranjo / PFC |
| Fila com todos, anagrama | Permutação |
| Letras repetidas | Permutação com repetição |
Atalho: C(n,p) = C(n, n − p) → C(8,5) = C(8,3) = 56.
Aprofundamento
Princípio fundamental da contagem (PFC): etapas independentes → multiplique as possibilidades; casos excludentes ("ou") → some.
| Situação | Ordem importa? | Fórmula |
|---|---|---|
| Permutação (todos) | sim | Pₙ = n! |
| Permutação com repetição | sim | n!/(a!·b!·…) — anagramas com letras repetidas |
| Arranjo (p de n) | sim | Aₙ,ₚ = n!/(n − p)! |
| Combinação (p de n) | não | Cₙ,ₚ = n!/[p!(n − p)!] |
| Permutação circular | — | (n − 1)! |
- Teste: trocar a ordem dos escolhidos gera um resultado diferente? Sim → arranjo; não → combinação (comissões, grupos, apostas).
- Restrições: comece pela etapa restrita; "pelo menos um" = total − nenhum.
Exemplos
- Placas com 3 letras (26) e 4 algarismos (10), com repetição: 26³·10⁴ = 175.760.000.
- Comissão de 3 agentes entre 8: C₈,₃ = 56. Presidente, vice e secretário entre 8: A₈,₃ = 336.
- Anagramas de PRF: 3! = 6; de RODOVIA (O repetido 2 vezes): 7!/2! = 2.520.
Como o Cebraspe cobra
- "Sem distinção de função" → combinação; item que usa arranjo (336) está errado.
- Troca "e" (multiplica) por "ou" (soma).
- Detalhe que torna o item errado: uma palavra do enunciado — "distintas funções", "ordem de chegada", "sem reposição".
Revisão rápida
- Etapas em sequência: multiplica; alternativas: soma.
- Ordem importa → arranjo; não importa → combinação.
- C(n,p) = n!/[p!(n−p)!]; A(n,p) = n!/(n−p)!.
- C(n,p) = C(n,n−p).
- Restrição primeiro, depois o resto.
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Flashcards de Análise combinatória — PFC, arranjo, permutação e combinação
Tente lembrar antes de virar o card.
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Diferença entre arranjo e combinação — qual a pergunta-chave pra escolher a fórmula certa?
Trocar a ordem dos elementos escolhidos gera um resultado diferente? Se sim, use arranjo/permutação; se não, use combinação.
- Revelar resposta
Como contar anagramas de uma palavra com letras repetidas?
n! / (a!·b!·…), dividindo pelo fatorial de cada repetição. Ex.: PATRULHA (8 letras, A×2) = 8!/2! = 20.160. Pegadinha: usar só n! ignorando a repetição.
- Revelar resposta
Princípio fundamental da contagem: como contar códigos/senhas formados por etapas?
Multiplica-se o número de opções de cada posição. Com repetição: cada posição tem todas as opções (ex.: 2 letras + 3 algarismos = 26·26·10·10·10 = 676.000); sem repetição, as opções diminuem a cada posição. Pegadinha: somar em vez de multiplicar ou tirar opções quando a repetição é permitida.
- Revelar resposta
Quantas disposições de n pessoas em torno de uma mesa redonda?
Permutação circular: (n − 1)! (rotações são consideradas iguais). Ex.: 5 pessoas → 4! = 24. Pegadinha: usar n! (= 120).
Questões de Análise combinatória — PFC, arranjo, permutação e combinação
Questão 1 · PRF · Certo ou Errado
Para compor uma escala de fiscalização, um chefe de posto da PRF deve selecionar uma equipe de 3 policiais dentre 8 disponíveis, sem distinção de função dentro da equipe. Nessa situação, o número de equipes distintas que podem ser formadas é igual a 56.
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Gabarito: Certo
Certo. Como a ordem não importa dentro da equipe, o número de equipes é dado pela combinação C(8,3) = 8!/(3!×5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 336/6 = 56.
Questão 2 · PRF · Certo ou Errado
Uma equipe de blitz será formada por 3 policiais escolhidos entre 7 disponíveis em um posto da PRF. Nessa situação, o número de equipes distintas possíveis é igual a 35.
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Gabarito: Certo
Certo. Como a ordem de escolha não importa, o número de equipes é C(7,3) = 7!/(3!·4!) = 35, confirmando o item.
Questão 3 · PRF · Certo ou Errado
Para ocupar as funções de chefe, motorista e auxiliar de uma equipe de fiscalização, devem ser escolhidos 3 policiais distintos entre 6 disponíveis, cada um em uma função. Nessa situação, o número de maneiras distintas de compor a equipe é igual a 20.
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Gabarito: Errado
Errado. Como as funções são distintas, a ordem importa: arranjo A(6,3) = 6 · 5 · 4 = 120. O valor 20 corresponde a C(6,3) = 120/3! = 20, que só valeria se não houvesse distinção de função.
Questão 4 · PRF · Certo ou Errado
O número de anagramas distintos da palavra PATRULHA é igual a 40.320.
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Gabarito: Errado
Errado. PATRULHA tem 8 letras, com a letra A repetida 2 vezes. Permutação com repetição: 8!/2! = 40.320/2 = 20.160. O valor 40.320 (= 8!) ignora a repetição do A.
Questão 5 · PRF · Certo ou Errado
Um código interno de identificação de viaturas é formado por 2 letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto, seguidas de 3 algarismos, de 0 a 9, sendo permitida a repetição de letras e de algarismos. Nessa situação, o número de códigos distintos possíveis é igual a 676.000.
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Gabarito: Certo
Certo. Pelo princípio fundamental da contagem: 26 · 26 · 10 · 10 · 10 = 676 · 1.000 = 676.000.