Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF, PF, Polícia Penal, Detran
Razão, proporção e divisão proporcional
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Cai no edital de: PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Razão, proporção e divisão proporcional
Essência. Razão a/b compara por divisão; proporção é igualdade de razões: a/b = c/d ⇔ a·d = b·c. Cobrança típica: "a razão entre X e Y é 5 para 2; o total é N" — ache as partes.
- Método das partes: some as partes (5 : 2 → 7); total ÷ partes = valor de uma parte; multiplique cada termo.
- Dado um termo: termo ÷ sua parte. Dada a diferença: diferença ÷ diferença das partes.
- Propriedade da soma: a/b = c/d → (a + c)/(b + d) = a/b (justifica o método).
- Divisão proporcional: parte i = N·pᵢ/(soma dos pesos). Inversamente proporcional: use os inversos 1/pᵢ.
- Diretas: x/y constante (dobra uma, dobra a outra). Inversas: x·y constante.
- Ordem: "A para B" = A/B.
- Também são razões: escala, velocidade média, densidade, consumo.
Exceções e distinções. Policiais : administrativos = 5 : 2, total 49 → parte = 7 → 35 e 14. Leves : pesados = 5 : 2 com 140 pesados → parte = 70 → leves 350 → total 490.
Pegadinha Cebraspe. Dividir o total por 5 ou por 2, e não por 7 (soma das partes) → errado.
Lembre também: razão aplicada ao grupo invertido; item que dá um grupo e pede o total (ou o contrário).
Visão geral
Razão é a comparação a/b (b ≠ 0). Proporção é a igualdade de duas razões: a/b = c/d ⇔ a·d = b·c. A cobrança típica: "a razão entre X e Y é 5 para 2; o total é N" — ache as partes.
Regra
Método das partes (divisão proporcional direta)
- Some as partes da razão (5 : 2 → 7 partes).
- Divida o total pelo nº de partes → valor de uma parte.
- Multiplique cada termo da razão pelo valor da parte. Ex.: 5 : 2 com total 70 → parte = 10 → 50 e 20.
Propriedade da soma: se a/b = c/d, então (a + c)/(b + d) = a/b. É a justificativa do método das partes.
Divisão inversamente proporcional: divida em partes proporcionais aos inversos (1/a, 1/b, ...). Ex.: 90 em partes inversas a 2 e 4 → proporcionais a 1/2 e 1/4 (2 : 1) → 60 e 30.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- Policiais : administrativos = 5 : 2, total 49 → 7 partes → 1 parte = 7 → policiais = 35, administrativos = 14.
- Leves : pesados = 5 : 2, com 140 pesados → 1 parte = 70 → leves = 350 → total = 490.
| Dado do item | O que fazer |
|---|---|
| Razão + total | total ÷ soma das partes |
| Razão + um dos termos | termo ÷ sua parte |
| Razão + diferença | diferença ÷ diferença das partes |
Aprofundamento
- Razão: a/b (comparação por divisão). Proporção: igualdade de razões a/b = c/d ⇔ a·d = b·c (produto dos extremos = produto dos meios).
- Grandezas diretamente proporcionais: x/y = constante (dobra uma, dobra a outra). Inversamente proporcionais: x·y = constante (dobra uma, cai à metade a outra).
- Divisão proporcional: repartir N em partes proporcionais a p₁, p₂, … → parte i = N·pᵢ/(p₁ + p₂ + …). Inversamente proporcional: use os inversos 1/pᵢ.
- Escala, velocidade média, densidade, consumo são razões.
Exemplo: dividir 1.800 diárias entre três equipes proporcionalmente a 2, 3 e 4 policiais: soma 9 → 200 por policial → 400, 600 e 800.
Exemplo (inversa): dividir R$ 1.100 inversamente a 2 e 3 (dias de atraso): inversos 1/2 e 1/3 → MMC 6 → 3 e 2 → total 5 → R$ 660 e R$ 440.
Taxa de variação (edital 3): variação de uma grandeza por unidade da outra — km/h, litros/km, acidentes/ano. Taxa média entre dois instantes = Δy/Δx.
Como o Cebraspe cobra
- Inverte a ordem da razão ("5 para 2" aplicado ao grupo errado).
- Dá o valor de um grupo e pede o total (ou o contrário).
- Detalhe que torna o item errado: dividir o total por 5 ou por 2 em vez de por 7 (a soma das partes).
Revisão rápida
- a/b = c/d ⇔ ad = bc.
- Soma das partes → valor de uma parte.
- Atenção à ordem: "A para B" = A/B.
- Inversamente proporcional: use os inversos.
- Razão também aparece em escala e velocidade.
Mapa mental: Razão, proporção e divisão proporcional
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Flashcards de Razão, proporção e divisão proporcional
Tente lembrar antes de virar o card.
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Razão "A para B" = m : n e um total (ou um dos termos): como achar as partes?
Método das partes: some as partes (m + n); total ÷ (m + n) = valor de uma parte; multiplique cada termo por ela. Dado um termo: termo ÷ sua parte. Pegadinha: dividir o total por m ou por n, ou aplicar a razão ao grupo errado.
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Divisão de um total em partes diretamente ou inversamente proporcionais: como calcular cada parte?
Diretamente a a, b, c: some os pesos (a + b + c), divida o total pela soma (valor da parte) e multiplique por cada peso. Inversamente a a, b, c: use os inversos 1/a, 1/b, 1/c e multiplique pelo MMC para ter inteiros (inversamente a 1, 2, 3 → 6, 3, 2). Armadilha: dividir "inversamente" com os pesos originais.
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Como testar se duas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais?
Diretamente: o quociente y/x é constante (e x = 0 ⇒ y = 0). Inversamente: o produto x·y é constante. Armadilha: "uma cresce e a outra decresce" não basta (18×60 ≠ 20×50); y = k(1 + r) é proporcional a (1 + r), não a r.
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Grandeza diretamente proporcional a A e inversamente proporcional a B (ex.: nota = k·horas/faltas): como comparar dois casos?
Monte y = k·A/B e compare mantendo as demais grandezas: y₂ = y₁ · (A₂/A₁) · (B₁/B₂). Ex.: 5 faltas → 80; 8 faltas → 80 × 5/8 = 50. Armadilha: inverter a razão da grandeza inversamente proporcional.
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"X equivale a quantos Y?" (ex.: salário médio em salários mínimos): como calcular?
É a razão X/Y. R$ 2.965,20 / R$ 1.412,00 = 2,1 salários mínimos. Confira multiplicando de volta: 1.412 × 2,1 = 2.965,20.
Questões de Razão, proporção e divisão proporcional
Questão 1 · PRF · Certo ou Errado
Uma equipe da PRF é formada por policiais e agentes administrativos na razão de 5 para 2. Se a equipe tem, ao todo, 49 integrantes, então o número de policiais nessa equipe é igual a 35.
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Gabarito: Certo
Certo. Sendo a razão policiais:administrativos igual a 5:2, o total de partes é 5+2=7. Como a equipe tem 49 integrantes, cada parte corresponde a 49/7=7. O número de policiais é 5×7=35.
Questão 2 · PRF · Certo ou Errado
Em uma rodovia fiscalizada pela PRF, a razão entre o número de veículos leves e o de veículos pesados observados em determinada hora foi de 5 para 2. Se, nessa hora, passaram 140 veículos pesados, o total de veículos (leves e pesados) observados foi igual a 490.
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Gabarito: Certo
Certo. Da razão 5:2, com 140 veículos pesados (parte '2'), cada parte vale 70, logo os leves (parte '5') somam 350. Total: 350 + 140 = 490, conforme o item.
Questão 3 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
A quantia de R$ 900,00 será dividida em duas partes diretamente proporcionais a 2 e 7. A maior parte será de:
- A)
R$ 450,00
- B)
R$ 700,00
- C)
R$ 630,00
- D)
R$ 600,00
- E)
R$ 800,00
Revelar gabarito
Gabarito: letra B
Somando as proporções, 2 + 7 = 9 partes, e cada parte vale 900 / 9 = 100. As partes são 2 · 100 = 200 e 7 · 100 = 700. Dividir ao meio (A) ignora a proporção.
- A)
Questão 4 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
Em um mapa na escala 1:50.000, a distância entre duas cidades é de 4 cm. A distância real entre elas é de:
- A)
20 km.
- B)
0,2 km.
- C)
200 km.
- D)
4 km.
- E)
2 km.
Revelar gabarito
Gabarito: letra E
Cada 1 cm no mapa corresponde a 50.000 cm reais: 4 · 50.000 = 200.000 cm. Como 1 km = 100.000 cm, são 2 km. Erros na conversão de unidades levam a 20 km (A) ou 0,2 km (B).
- A)
Questão 5 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
Em uma repartição, a razão entre o número de homens e o de mulheres é de 3 para 5. Se há 40 servidores, o número de mulheres é:
- A)
15
- B)
24
- C)
20
- D)
25
- E)
16
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
São 3 + 5 = 8 partes, e 40/8 = 5 servidores por parte. Mulheres: 5 · 5 = 25; homens: 3 · 5 = 15 (A). Calcular 5/8 de 40 dá o mesmo resultado (25).
- A)