Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF, PF, Polícia Penal, Detran
Teoria dos conjuntos e diagramas de Venn
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Cai no edital de: PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Teoria dos conjuntos e diagramas de Venn
Essência. Problemas de "quantos fizeram A, B, ambos, nenhum". A ferramenta é o diagrama de Venn, preenchido de dentro para fora: primeiro a interseção.
- Dois conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
- Três conjuntos: soma os três, tira as interseções duplas, devolve a tripla.
- Nenhum = total − n(união).
- Só A (apenas A) = n(A) − n(A ∩ B).
- Operações: união (ou), interseção (e), diferença A − B (só A), complementar (fora de A).
- Subconjuntos: conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos (inclui ∅ e ele mesmo).
- Conjuntos numéricos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ; irracionais = ℝ − ℚ (√2, π).
Exceções e distinções. 40 policiais; 25 em direção defensiva, 20 em tiro, 10 nos dois → união 35 → nenhum 5; só direção 15, só tiro 10. 60 motoristas; 35 com CNH, 28 com CRLV, 15 com os dois → nenhum 12.
Pegadinha Cebraspe. Somar os conjuntos sem descontar a interseção (25 + 20 = 45, mais que o total de 40) → errado.
Lembre também: a palavra "apenas" ou "somente" muda a região pedida; confira se a soma das regiões fecha com o total.
Visão geral
Problemas de "quantos fizeram A, B, ambos, nenhum". Ferramenta: diagrama de Venn, preenchido de dentro para fora (primeiro a interseção).
Regra
- Dois conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ex.: 25 + 20 − 10 = 35.
- Três conjuntos: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C).
- Nenhum = total − n(união).
- Só A = n(A) − n(A ∩ B).
- Operações: união (ou), interseção (e), diferença A − B (só A), complementar (fora de A).
- Nº de subconjuntos de um conjunto com n elementos: 2ⁿ. Ex.: {a, b, c} → 8.
Método
- Coloque a interseção no centro.
- Desconte-a de cada conjunto para achar os "só".
- Some as regiões e compare com o total.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- 40 policiais; 25 direção defensiva, 20 tiro, 10 ambos → união 35 → nenhum = 5. Só direção = 15; só tiro = 10.
- 60 motoristas; 35 CNH, 28 CRLV, 15 ambos → união 48 → nenhum = 12.
Aprofundamento
- Operações: união A ∪ B (está em A ou B), interseção A ∩ B (em ambos), diferença A − B (em A e não em B), complementar.
- Contagem: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); com três conjuntos: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C).
- Diagrama de Venn: preencha de dentro para fora (comece pela interseção de todos).
- Subconjuntos: conjunto com n elementos tem 2ⁿ subconjuntos (incluindo ∅ e ele mesmo).
- Conjuntos numéricos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ; irracionais = ℝ − ℚ (√2, π).
Exemplo: em 200 condutores, 120 sem cinto, 70 ao celular, 30 nas duas infrações. Pelo menos uma: 120 + 70 − 30 = 160; nenhuma: 40; só celular: 40.
Exemplo (três conjuntos): preencha a interseção tripla, depois as duplas descontando a tripla, depois os "só A", "só B", "só C".
Como o Cebraspe cobra
- Soma os conjuntos sem descontar a interseção (25 + 20 = 45 > 40).
- Confunde "só A" com "A".
- Detalhe que torna o item errado: a palavra "apenas"/"somente" versus o total do conjunto.
Revisão rápida
- União = A + B − interseção.
- Nenhum = total − união.
- Venn de dentro para fora.
- "Apenas A" = A − interseção.
- 3 conjuntos: soma, tira as duplas, volta a tripla.
Mapa mental: Teoria dos conjuntos e diagramas de Venn
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Flashcards de Teoria dos conjuntos e diagramas de Venn
Tente lembrar antes de virar o card.
- Revelar resposta
Qual o princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos?
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|
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Diagrama de Venn: como achar quantos estão "somente em A"?
Somente A = n(A) − n(A∩B) (com 3 conjuntos, desconte as interseções e devolva a tripla). Preencha o diagrama de dentro para fora: interseção primeiro. Pegadinha: tomar n(A) como "somente A".
- Revelar resposta
Qual a inclusão-exclusão para três conjuntos?
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C). "Nenhum" = total − união. Pegadinha: esquecer de somar de volta a interseção tripla.
- Revelar resposta
Quantos subconjuntos tem um conjunto de n elementos?
2ⁿ (incluindo o vazio e o próprio conjunto). Ex.: n = 5 → 32. Pegadinha: calcular n² (= 25).
- Revelar resposta
Qual o princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos?
|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|
Questões de Teoria dos conjuntos e diagramas de Venn
Questão 1 · PRF · Certo ou Errado
Em um posto da PRF, 40 policiais concluíram cursos de capacitação: 25 concluíram o curso de direção defensiva, 20 concluíram o curso de armamento e tiro, e 10 concluíram ambos os cursos. Nessa situação, o número de policiais que não concluíram nenhum dos dois cursos é igual a 5.
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Gabarito: Certo
Certo. Pelo princípio da inclusão-exclusão, |A∪B| = 25+20−10=35. Como o total de policiais é 40, os que não concluíram nenhum dos dois cursos são 40−35=5.
Questão 2 · PRF · Certo ou Errado
Em uma fiscalização, 60 motoristas foram abordados; 35 estavam com a CNH em dia, 28 estavam com o CRLV em dia, e 15 motoristas possuíam ambos os documentos em dia. Nessa situação, o número de motoristas que não estavam com nenhum dos dois documentos em dia foi igual a 12.
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Gabarito: Certo
Certo. Pela inclusão-exclusão, |CNH ∪ CRLV| = 35 + 28 − 15 = 48; logo, os que não tinham nenhum dos dois documentos em dia somam 60 − 48 = 12, confirmando o item.
Questão 3 · PRF · Certo ou Errado
Em uma operação da PRF, foram fiscalizados 90 veículos. Desses, 50 apresentaram irregularidade documental, 30 apresentaram irregularidade em equipamentos obrigatórios e 12 apresentaram os dois tipos de irregularidade.
Nessa situação, o número de veículos que apresentaram somente irregularidade documental é igual a 50.
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Gabarito: Errado
Errado. Somente documental = 50 − 12 = 38. O valor 50 é o total com irregularidade documental, incluindo os 12 que também tinham irregularidade em equipamentos.
Questão 4 · PRF · Certo ou Errado
Em uma operação da PRF, foram fiscalizados 90 veículos. Desses, 50 apresentaram irregularidade documental, 30 apresentaram irregularidade em equipamentos obrigatórios e 12 apresentaram os dois tipos de irregularidade.
Nessa situação, o número de veículos que apresentaram pelo menos um dos dois tipos de irregularidade é igual a 68.
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Gabarito: Certo
Certo. n(A ∪ B) = 50 + 30 − 12 = 68. Conferência pelas regiões: só documental 38 + só equipamentos 18 + ambos 12 = 68 (e 90 − 68 = 22 sem irregularidade).
Questão 5 · PRF · Certo ou Errado
Em uma superintendência da PRF com 100 policiais, 45 fizeram o curso de primeiros socorros, 40 fizeram o curso de tiro e 35 fizeram o curso de direção defensiva. Sabe-se ainda que 15 fizeram primeiros socorros e tiro, 10 fizeram primeiros socorros e direção defensiva, 12 fizeram tiro e direção defensiva, e 5 fizeram os três cursos.
Nessa situação, o número de policiais que não fizeram nenhum dos três cursos é igual a 12.
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Gabarito: Certo
Certo. União = 45 + 40 + 35 − 15 − 10 − 12 + 5 = 120 − 37 + 5 = 88; nenhum = 100 − 88 = 12. Conferência pelas regiões: só socorros 25, só tiro 18, só direção 18, socorros e tiro apenas 10, socorros e direção apenas 5, tiro e direção apenas 7, os três 5 → 25 + 18 + 18 + 10 + 5 + 7 + 5 = 88.