Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF
Vistas ortogonais e projeções de sólidos (cubos empilhados)
5 min de leituracom podcast4 flashcards7 questões
Resumo: Vistas ortogonais e projeções de sólidos (cubos empilhados)
Essência. Vista = projeção ortogonal do sólido visto de uma direção: frontal, lateral e superior. O Cebraspe dá duas vistas de cubos empilhados e pergunta se uma figura pode ser a terceira.
- Modelo: grade no chão; cada casa tem uma altura (cubos empilhados).
- Superior = casas ocupadas; não mostra altura.
- Frontal = maior altura de cada coluna (esquerda → direita).
- Lateral = maior altura de cada fileira (frente ↔ fundos).
- Vista da esquerda: lado esquerdo do desenho = fundos; direito = frente.
- Julgar a superior: nenhuma coluna ou fileira vazia; pilha de altura h exige coluna e fileira com máximo ≥ h; falta casa indispensável → Errado.
- "Pode ser a vista" = basta uma montagem compatível.
- Também: planificação do cubo (11; faces opostas não são vizinhas); cortes de cubo até hexágono regular.
Exceções e distinções. Frontal 3, 1, 1 e lateral 3, 2, 1 (fundos → frente) → casas obrigatórias: esquerda-fundos (3) e esquerda-meio (2), mais casas na frente e nas colunas central e direita.
Pegadinha Cebraspe. Vista superior sem a casa esquerda-meio → fileira do meio teria só altura 1 → impossível.
Lembre também: trocar fundos × frente na lateral; arestas ocultas tracejadas nas vistas.
Visão geral
Uma vista (projeção ortogonal) é o "contorno" do sólido visto de uma direção, sem perspectiva. As três vistas usuais são a frontal (de frente), a lateral (de um dos lados) e a superior (de cima). O Cebraspe dá duas vistas de um sólido formado por cubos empilhados e pergunta se uma figura pode ser a terceira vista.
Regra
Monte o sólido como uma grade no chão (vista de cima), em que cada casa tem uma altura (nº de cubos empilhados).
- Vista superior = quais casas da grade estão ocupadas (altura ≥ 1). Não mostra alturas.
- Vista frontal = para cada coluna (esquerda → direita), a maior altura dessa coluna. Ex.: coluna com pilhas de 1, 3 e 2 cubos → a frontal mostra 3.
- Vista lateral = para cada fileira de profundidade (frente ↔ fundos), a maior altura dessa fileira.
- Orientação da vista da esquerda: o observador está à esquerda do sólido olhando para ele; o lado esquerdo do desenho corresponde aos fundos e o lado direito, à frente (observador de frente para o lado esquerdo do objeto: sua direita aponta para a frente do sólido).
Método para julgar "a figura pode ser a vista superior?"
- Da frontal: cada coluna precisa de ao menos uma casa ocupada; a coluna de altura máxima h precisa de uma casa com altura h.
- Da lateral: cada fileira precisa de ao menos uma casa ocupada; a fileira de altura h precisa de uma casa com altura h.
- Uma casa de altura h tem de estar numa coluna e numa fileira que admitam h (a altura é limitada pelo menor dos dois máximos).
- Se a vista superior proposta ocupa as casas exigidas em 1–3, ela é possível (Certo); se falta alguma casa indispensável, não é (Errado).
Pontos-chave
Exemplo (prova anterior). Frontal: colunas com alturas 3, 1, 1 (esquerda → direita). Lateral esquerda: fileiras com alturas 3, 2, 1 (fundos → frente).
| Exigência | Casa indispensável |
|---|---|
| Altura 3 (coluna esquerda × fileira dos fundos) | esquerda-fundos |
| Altura 2 na fileira do meio (só a coluna esquerda admite > 1) | esquerda-meio |
| Fileira da frente não pode ficar vazia | alguma casa na frente |
| Colunas central e direita não podem ficar vazias | alguma casa em cada uma |
- Vista superior com esquerda-fundos, esquerda-meio, central-meio e direita-frente → possível.
- Vista superior com esquerda-fundos, esquerda-meio, central-frente e direita-frente → possível.
- Vista superior com esquerda-fundos, central-meio, esquerda-frente e direita-frente → impossível: sem esquerda-meio, a fileira do meio só teria altura 1.
Aprofundamento
Visualização espacial (edital 9.2 e 9.3)
- Vistas ortográficas: frontal, superior (planta) e lateral — cada uma mostra as arestas visíveis daquela direção; arestas ocultas costumam vir tracejadas.
- Planificação: "abrir" a superfície do sólido no plano. Cubo: 11 planificações possíveis; faces opostas nunca são vizinhas na planificação (no "T" ou na "cruz", estão separadas por uma face).
- Cortes (secções): plano cortando um cubo pode gerar triângulo, quadrado, retângulo, trapézio, pentágono ou hexágono regular (corte pelos pontos médios de 6 arestas).
- Relação de Euler (poliedros convexos): V − A + F = 2. Cubo: 8 − 12 + 6 = 2.
- Rotações: ao girar uma figura 90°, acompanhe um vértice de referência; reflexão inverte a orientação (espelho).
Exemplo: um prisma triangular tem F = 5, V = 6 → A = V + F − 2 = 9.
Exemplo (dado): num dado comum, faces opostas somam 7; na planificação em cruz, a face oposta à do centro é a que fica na ponta da cruz.
Como o Cebraspe cobra
- Apresenta a vista superior com os rótulos "vista frontal" (embaixo) e "vista da esquerda" (à esquerda) para fixar a orientação.
- Troca a orientação da vista lateral (fundos × frente) — conferir quem fica à esquerda no desenho.
- Detalhe que torna o item errado: falta, na vista proposta, a casa que sustenta a pilha mais alta de alguma fileira ou coluna.
Revisão rápida
- Frontal = altura máxima por coluna; lateral = altura máxima por fileira; superior = casas ocupadas.
- Vista superior não mostra altura.
- Pilha de altura h exige coluna e fileira com máximo ≥ h.
- Nenhuma coluna/fileira mostrada nas vistas pode ficar vazia na superior.
- Vista da esquerda: esquerda do desenho = fundos do sólido.
- "Pode ser a vista" = basta uma montagem compatível.
Mapa mental: Vistas ortogonais e projeções de sólidos (cubos empilhados)
Toque play para percorrer o mapa. Clique num card para ver de perto, no fundo para afastar; arraste para mover e use Ctrl/⌘ + roda do mouse (ou a pinça) para zoom.
Flashcards de Vistas ortogonais e projeções de sólidos (cubos empilhados)
Tente lembrar antes de virar o card.
- Revelar resposta
Dadas as vistas frontal e lateral de um sólido de cubos empilhados, como julgar se uma figura pode ser a vista superior?
Frontal = altura máxima por coluna; lateral = altura máxima por fileira; superior = casas ocupadas. A vista proposta tem de conter a casa que sustenta cada altura máxima (cruzamento coluna × fileira que admitem aquela altura) e não pode deixar coluna ou fileira vazia. Pegadinha: inverter frente e fundos na vista da esquerda (esquerda do desenho = fundos).
- Revelar resposta
Qual a relação de Euler para poliedros convexos?
V − A + F = 2 (vértices − arestas + faces). Ex.: F = 8, V = 12 → A = 18 (prisma hexagonal). Pegadinha: trocar o sinal (V + A + F) ou isolar a incógnita errado.
- Revelar resposta
Planificação do cubo: faces opostas podem ficar vizinhas?
Não. Faces opostas nunca compartilham aresta, logo nunca ficam lado a lado em nenhuma das 11 planificações; em linha reta ficam separadas por uma face. O cubo tem 11 planificações distintas.
- Revelar resposta
Cubo/dado em diferentes posições: o que muda em cada tipo de giro? Quantas faces se veem de uma vez?
- Dado comum: faces opostas somam 7 (1–6, 2–5, 3–4); face de baixo = 7 − face de cima.
- Giro em torno do eixo vertical: topo e base não mudam; as 4 laterais circulam.
- Tombar 90° sobre uma aresta: topo vai para a lateral; dois tombamentos no mesmo sentido: topo vai para baixo.
- De um único ponto de vista: no máximo 3 faces visíveis.
Questões de Vistas ortogonais e projeções de sólidos (cubos empilhados)
Questão 1 · Certo ou Errado
Um sólido foi formado empilhando-se cubos de mesmo tamanho sobre uma grade de 3 colunas (esquerda, centro e direita) por 2 fileiras (fundos e frente). Descrição das vistas:
- Vista frontal: três colunas; da esquerda para a direita, têm 1, 3 e 2 cubos empilhados.
- Vista da esquerda: duas colunas; da esquerda para a direita do desenho (isto é, dos fundos para a frente do sólido), têm 3 e 1 cubos empilhados.
Pode representar a vista superior desse sólido a figura com as seguintes casas ocupadas: na fileira dos fundos, apenas a coluna central; na fileira da frente, as colunas esquerda e direita (demais casas vazias).
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. A coluna da direita precisa de uma pilha de 2 cubos (vista frontal), mas, nessa figura, sua única casa ocupada está na fileira da frente, cuja altura máxima é 1 (vista da esquerda). Logo, a coluna da direita teria no máximo 1 cubo. A casa direita-fundos é indispensável.
Questão 2 · Certo ou Errado
Um poliedro convexo com 8 faces e 12 vértices possui 18 arestas.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Pela relação de Euler, V − A + F = 2 → A = V + F − 2 = 12 + 8 − 2 = 18. É o caso do prisma hexagonal.
Questão 3 · Certo ou Errado
Em uma planificação de um cubo, duas faces que são opostas no cubo podem aparecer vizinhas, compartilhando uma aresta.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Faces opostas do cubo nunca compartilham aresta; por isso, em nenhuma das 11 planificações elas aparecem vizinhas (na cruz ou no T, ficam separadas por uma face).
Questão 4 · Certo ou Errado
Em um dado comum, a soma dos pontos de faces opostas é sempre 7. Se um desses dados estiver apoiado sobre uma mesa com a face de 2 pontos voltada para cima, então a face em contato com a mesa será a de 5 pontos.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A face em contato com a mesa é a oposta à face superior. Como faces opostas somam 7, a face de baixo tem 7 − 2 = 5 pontos.
Questão 5 · Certo ou Errado
Um cubo está apoiado sobre uma mesa. Se ele for tombado duas vezes seguidas no mesmo sentido, girando a cada vez 90° em torno de uma aresta da base, a face que estava inicialmente voltada para cima passará a ficar voltada para uma das laterais.
Revelar gabarito
Gabarito: Errado
Errado. Cada tombamento de 90° leva a face superior para a lateral no sentido do giro; o segundo tombamento no mesmo sentido leva essa face para baixo. Após dois tombamentos (180°), a face que estava em cima fica em contato com a mesa.