Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF, PF, Detran
Média, mediana, moda e medidas de dispersão
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Cai no edital de: PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Média, mediana, moda e medidas de dispersão
Essência. Leitura de tabela ou gráfico + medidas de posição (média, mediana, moda) e de dispersão (amplitude, desvio médio, variância, desvio padrão). O item costuma comparar duas medidas.
- Média aritmética: soma ÷ n (sensível a extremos). Ponderada: Σ(valor × peso) ÷ Σ pesos.
- Mediana: valor central dos dados ordenados; n par → média dos dois centrais (resistente a extremos). Ex.: 3, 5, 9, 20 → (5 + 9)/2 = 7.
- Moda: valor mais frequente (pode não existir ou haver mais de uma). Ex.: 2, 3, 3, 7 → moda 3.
- Amplitude: máximo − mínimo. Desvio médio: média de |xᵢ − x̄|. A soma dos desvios é sempre zero.
- Variância populacional: média de (xᵢ − x̄)² (amostral: divide por n − 1). Desvio padrão = √variância, na unidade dos dados.
- Propriedades: somar k a todos → média e mediana + k, dispersão não muda; multiplicar por k → média e desvio padrão × k, variância × k².
Exceções e distinções. 4, 6, 8, 10, 12 → média 8; desvio médio 2,4; variância 8; desvio padrão ≈ 2,83. Autuações 12, 8, 15, 10, 20 → média 13.
Pegadinha Cebraspe. Comparar a média de um recorte (2007–2010) com a mediana da série inteira → conferir o período: o erro está no recorte.
Lembre também: ordenar antes de achar a mediana; método: recortar, ordenar, calcular e comparar.
Visão geral
Leitura de tabela ou gráfico + cálculo de medidas de posição (média, mediana, moda) e de dispersão (desvio médio, variância, desvio padrão, amplitude). O item costuma comparar duas medidas.
Regra
Posição
- Média aritmética: soma ÷ quantidade.
- Média ponderada: Σ(valor × peso) ÷ Σpesos. Ex.: nota 6 (peso 1) e 9 (peso 2) → 24 ÷ 3 = 8.
- Mediana: valor central dos dados ordenados; n par → média dos dois centrais.
- Moda: valor mais frequente (pode não existir ou haver mais de uma).
Dispersão
- Amplitude: máximo − mínimo. Ex.: 4, 7, 15 → 11.
- Desvio absoluto médio: média de |xᵢ − x̄|.
- Variância (populacional): média de (xᵢ − x̄)²; desvio padrão = √variância. (Amostral: divide por n − 1.)
Propriedades úteis
- Somar k a todos os dados: média e mediana somam k; dispersão não muda. Ex.: 2, 4, 6 (média 4) + 10 → 12, 14, 16 (média 14), mesma amplitude.
- Multiplicar por k: média e desvio padrão × k; variância × k².
Método
- Recorte o período pedido (ex.: só 2007–2010).
- Ordene os dados antes da mediana.
- Calcule e compare.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- Média 2007–2010 = (129 + 141 + 159 + 183)/4 = 153; mediana dos 7 anos (110, 111, 129, 141, 159, 183, 189) = 141 → média não é inferior à mediana.
- Autuações 12, 8, 15, 10, 20 → média 65/5 = 13.
- 4, 6, 8, 10, 12 → média 8; desvios 4, 2, 0, 2, 4 → desvio médio 12/5 = 2,4; variância (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/5 = 8; desvio padrão ≈ 2,83.
Aprofundamento
Medidas de tendência central
- Média aritmética = soma/n; ponderada = Σ(xᵢ·pᵢ)/Σpᵢ. Sensível a valores extremos.
- Mediana: valor central do rol ordenado (n par: média dos dois centrais). Resistente a extremos.
- Moda: valor mais frequente (pode haver mais de uma, ou nenhuma).
Medidas de dispersão (análise de desvios)
- Amplitude = maior − menor.
- Desvio de cada valor = xᵢ − média (a soma dos desvios é sempre zero).
- Variância (populacional) σ² = Σ(xᵢ − x̄)²/n (amostral: divide por n − 1). Desvio padrão σ = √variância (mesma unidade dos dados).
- Coeficiente de variação CV = σ/média — compara dispersões de grandezas diferentes.
- Somar uma constante a todos os dados muda a média, não muda o desvio padrão; multiplicar por k multiplica média e desvio por k (variância por k²).
Exemplo: velocidades medidas 80, 90, 90, 100, 140. Média = 500/5 = 100; mediana = 90; moda = 90; desvios: −20, −10, −10, 0, 40 → variância = (400 + 100 + 100 + 0 + 1600)/5 = 440; desvio padrão ≈ 21.
Como o Cebraspe cobra
- Mistura períodos diferentes na comparação (média de um recorte × mediana da série inteira).
- Calcula mediana sem ordenar ou com n par pegando só um valor.
- Detalhe que torna o item errado: o recorte temporal e a ordenação dos dados.
Revisão rápida
- Média = soma/n; mediana = centro dos ordenados.
- n par: média dos dois centrais.
- Desvio médio usa |x − x̄|; variância usa (x − x̄)².
- Desvio padrão = √variância.
- Somar constante não altera dispersão.
- Conferir o recorte pedido no gráfico.
Mapa mental: Média, mediana, moda e medidas de dispersão
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Flashcards de Média, mediana, moda e medidas de dispersão
Tente lembrar antes de virar o card.
- Revelar resposta
Média × mediana: como calcular cada uma?
Média = soma ÷ quantidade. Mediana = valor central dos dados ordenados; n par → média dos dois centrais. Pegadinha: conferir o recorte pedido (período) de cada medida e ordenar antes da mediana.
- Revelar resposta
Como calcular o desvio absoluto médio — e em que ele difere da variância?
Desvio absoluto médio = média de . Variância = média de ; desvio padrão = √variância. Pegadinha: usar o quadrado no desvio médio (ou o módulo na variância).
- Revelar resposta
Somar ou multiplicar uma constante a todos os dados: o que acontece com a média e o desvio padrão?
Somar k: média (e mediana) aumentam k; desvio padrão e variância não mudam. Multiplicar por k: média e desvio padrão ficam multiplicados por k; a variância por k². Pegadinha: somar k também ao desvio padrão.
Questões de Média, mediana, moda e medidas de dispersão
Questão 1 · PRF · Certo ou Errado
Em uma semana, uma equipe da PRF registrou o seguinte número diário de autuações: segunda-feira, 12; terça-feira, 8; quarta-feira, 15; quinta-feira, 10; sexta-feira, 20. Nessa situação, a média diária de autuações nessa semana foi igual a 13.
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Gabarito: Certo
Certo. Soma: 12+8+15+10+20 = 65; média = 65/5 = 13, confirmando o item.
Questão 2 · PRF · Certo ou Errado
Considere os valores 4, 6, 8, 10 e 12, referentes ao tempo, em minutos, gasto por uma equipe da PRF no atendimento de cinco ocorrências. O desvio absoluto médio desse conjunto de dados, em relação à média aritmética, é igual a 2,4 minutos.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. A média é (4+6+8+10+12)/5 = 8. Os desvios absolutos em relação à média são 4, 2, 0, 2 e 4, cuja soma é 12; dividindo por 5, o desvio absoluto médio é 12/5 = 2,4 minutos, confirmando o item.
Questão 3 · PRF · Certo ou Errado
Um radar registrou as seguintes velocidades, em km/h, de seis veículos: 72, 85, 64, 90, 78 e 81. Nessa situação, a mediana dessas velocidades é igual a 78 km/h.
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Gabarito: Errado
Errado. Ordenando: 64, 72, 78, 81, 85, 90. Com n = 6 (par), a mediana é a média dos dois valores centrais: (78 + 81)/2 = 79,5 km/h.
Questão 4 · PRF · Certo ou Errado
Oito equipes da PRF atenderam, em um dia, os seguintes números de ocorrências: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9. Considerando esses dados como uma população, o desvio padrão do número de ocorrências é igual a 2.
Revelar gabarito
Gabarito: Certo
Certo. Média = (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9)/8 = 40/8 = 5. Desvios ao quadrado: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 → soma 32. Variância populacional = 32/8 = 4; desvio padrão = √4 = 2.
Questão 5 · PRF · Certo ou Errado
Se a cada um dos valores de um conjunto de dados for somada a constante 10, a média aumentará 10 unidades e o desvio padrão também aumentará 10 unidades.
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Gabarito: Errado
Errado. Somar uma constante a todos os dados desloca a média (e a mediana) em 10, mas não altera a dispersão: os desvios em relação à média permanecem os mesmos, logo o desvio padrão não muda.