Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF, PF, Polícia Penal, Detran
Probabilidade
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Cai no edital de: PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Probabilidade
Essência. Espaço equiprovável: P(A) = favoráveis/possíveis, com 0 ≤ P ≤ 1. O item compara o resultado com um percentual ou fração; converta antes de comparar.
- Complementar: P(não A) = 1 − P(A) → use em "pelo menos um" = 1 − P(nenhum).
- União ("ou"): P(A) + P(B) − P(A ∩ B); excludentes, só some.
- Interseção ("e"): P(A)·P(B | A); independentes, P(A)·P(B).
- Condicional ("dado que"): P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B): o espaço encolhe para B.
- Sem reposição: o denominador diminui (eventos dependentes). Com reposição: independentes.
- Binomial: P(k sucessos) = C(n,k)·pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
- Método: defina o total, conte os favoráveis (PFC ou combinação) ou multiplique etapa a etapa.
Exceções e distinções. 4 caminhões, 3 ônibus, 5 automóveis → P(ônibus) = 3/12 = 25%. 10 veículos, 4 irregulares, 2 sem reposição: C(4,2)/C(10,2) = 2/15 = 4/10 × 3/9. Pelo menos um irregular: 1 − 15/45 = 2/3.
Pegadinha Cebraspe. Sorteio sem reposição calculado como 4/10 × 4/10 → errado.
Lembre também: total do espaço amostral = soma de todos os grupos; condicional dividida pelo total em vez de pelo evento dado.
Visão geral
Em espaço amostral equiprovável: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis, com 0 ≤ P ≤ 1. O Cebraspe compara o resultado com um percentual ("superior a 30%") ou uma fração.
Regra
- Complementar: P(não A) = 1 − P(A). Use em "pelo menos um". Ex.: 2 moedas, pelo menos uma cara → 1 − 1/4 = 3/4.
- União: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); se mutuamente exclusivos, some. Ex.: copas ou rei → 13/52 + 4/52 − 1/52 = 16/52.
- Interseção (e): P(A ∩ B) = P(A)·P(B | A). Se independentes, P(A)·P(B).
- Condicional: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) — o espaço amostral encolhe para B. Ex.: sabendo que o dado deu par, P(6) = 1/3.
- Sem reposição: o 2º sorteio tem um elemento a menos (dependentes). Com reposição: independentes.
Método
- Defina o espaço amostral (total).
- Conte os favoráveis (PFC/combinação).
- Para sorteios sucessivos, multiplique as probabilidades etapa a etapa ou use combinações.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- 4 caminhões, 3 ônibus, 5 automóveis: P(ônibus) = 3/12 = 25% (não é superior a 30%).
- 10 veículos, 4 irregulares, 2 escolhidos sem reposição: C(4,2)/C(10,2) = 6/45 = 2/15. Etapa a etapa: 4/10 × 3/9 = 12/90 = 2/15 ✔.
- "Pelo menos um irregular": 1 − C(6,2)/C(10,2) = 1 − 15/45 = 2/3.
| Palavra-chave | Operação |
|---|---|
| "e", "ambos" | multiplica |
| "ou" | soma (tirando a interseção) |
| "pelo menos um" | 1 − P(nenhum) |
| "dado que", "sabendo que" | condicional |
Aprofundamento
Definição clássica: P(A) = casos favoráveis / casos possíveis (equiprováveis). 0 ≤ P ≤ 1; P(não A) = 1 − P(A).
- União: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (excludentes: só some).
- Condicional: P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) — "dado que B ocorreu", o espaço amostral encolhe para B.
- Independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Sucessivos sem reposição: multiplique, atualizando o total.
- "Pelo menos um": 1 − P(nenhum).
- Binomial (n tentativas independentes, sucesso p): P(k sucessos) = Cₙ,ₖ·pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Exemplos
- De 10 veículos abordados, 3 irregulares; sorteando 2 sem reposição, P(ambos irregulares) = 3/10·2/9 = 1/15.
- Etilômetro acusa positivo com 2% de chance em cada um de 3 testes independentes: P(ao menos um positivo) = 1 − 0,98³ ≈ 5,9%.
- Tabela de dupla entrada: P(motorista profissional | autuado) = (autuados profissionais)/(total de autuados).
Como o Cebraspe cobra
- Sorteio sem reposição calculado como se fosse com reposição (4/10 × 4/10): errado.
- Condicional calculada sobre o total em vez de sobre o evento dado.
- Detalhe que torna o item errado: o total do espaço amostral (somar todos os grupos) e a palavra "reposição".
Revisão rápida
- P = favoráveis/possíveis.
- "Pelo menos um" → complementar.
- União: soma menos interseção.
- Sem reposição: denominador diminui.
- Condicional: divida pela probabilidade da condição.
- Converter fração em % antes de comparar.
Mapa mental: Probabilidade
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Flashcards de Probabilidade
Tente lembrar antes de virar o card.
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Como calcular uma probabilidade em sorteio equiprovável — e o que muda "sem reposição"?
P = casos favoráveis / casos possíveis (total = soma de todos os grupos). Sorteios sucessivos: "e" → multiplica; sem reposição o denominador diminui (ex.: 4/10 × 3/9), ou use C(fav, k)/C(total, k). Pegadinha: calcular sem reposição como se fosse com reposição.
- Revelar resposta
Como calcular a probabilidade de "pelo menos um"?
Pelo complementar: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Eventos independentes: P(nenhum) = produto das probabilidades de não ocorrer (ex.: 1 − 0,8·0,8 = 0,36). Pegadinha: somar as probabilidades (20% + 20% = 40%).
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Probabilidade condicional em tabela de dupla entrada: qual o denominador?
P(A | B) = n(A∩B) / n(B): o espaço amostral encolhe para o evento dado ("entre os que…"). Ex.: profissionais entre os 90 com excesso = 30/90 = 1/3. Pegadinha: dividir pelo total geral (30/200).
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Como calcular uma probabilidade em sorteio equiprovável — e o que muda "sem reposição"?
P = casos favoráveis / casos possíveis (total = soma de todos os grupos). Sorteios sucessivos: "e" → multiplica; sem reposição o denominador diminui (ex.: 4/10 × 3/9), ou use C(fav, k)/C(total, k). Pegadinha: calcular sem reposição como se fosse com reposição.
Questões de Probabilidade
Questão 1 · PRF · Certo ou Errado
Em uma barreira de fiscalização, os veículos abordados são sorteados aleatoriamente para inspeção detalhada dentre os que passam pelo local. Em determinado intervalo, passaram 4 caminhões, 3 ônibus e 5 automóveis, todos com a mesma chance de serem sorteados. Nessa situação, a probabilidade de que o veículo sorteado seja um ônibus é superior a 30%.
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Gabarito: Errado
Errado. O total de veículos é 4+3+5=12, e a probabilidade de sorteio de um ônibus é 3/12=0,25=25%, que não é superior a 30%.
Questão 2 · PRF · Certo ou Errado
Em um lote de 10 veículos abordados em uma fiscalização, 4 apresentavam alguma irregularidade documental. Escolhendo-se aleatoriamente 2 desses veículos, sem reposição, a probabilidade de que ambos apresentem irregularidade documental é igual a 2/15.
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Gabarito: Certo
Certo. P = C(4,2)/C(10,2) = 6/45 = 2/15, confirmando o valor do item.
Questão 3 · PRF · Certo ou Errado
Em um lote de 8 veículos retidos em uma fiscalização, 3 apresentam irregularidade no tacógrafo. Dois desses veículos serão escolhidos aleatoriamente, sem reposição, para perícia.
A probabilidade de que pelo menos um dos veículos escolhidos apresente irregularidade no tacógrafo é superior a 60%.
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Gabarito: Certo
Certo. P(nenhum irregular) = C(5,2)/C(8,2) = 10/28 = 5/14 (ou 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14). P(pelo menos um) = 1 − 5/14 = 9/14 ≈ 64,3% > 60%.
Questão 4 · PRF · Certo ou Errado
Em um lote de 8 veículos retidos em uma fiscalização, 3 apresentam irregularidade no tacógrafo. Dois desses veículos serão escolhidos aleatoriamente, sem reposição, para perícia.
A probabilidade de que ambos os veículos escolhidos apresentem irregularidade no tacógrafo é igual a 9/64.
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Gabarito: Errado
Errado. Sem reposição: 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28 (ou C(3,2)/C(8,2) = 3/28). O valor 9/64 = 3/8 × 3/8 seria o cálculo com reposição.
Questão 5 · PRF · Certo ou Errado
A tabela a seguir apresenta, hipoteticamente, a distribuição de 200 motoristas autuados em uma operação, segundo o tipo de motorista e a infração cometida.
Excesso de velocidade Outras infrações Total Profissionais 30 50 80 Não profissionais 60 60 120 Total 90 110 200 Sorteando-se ao acaso um dos motoristas autuados por excesso de velocidade, a probabilidade de que ele seja motorista profissional é igual a 15%.
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Gabarito: Errado
Errado. O espaço amostral encolhe para os 90 autuados por excesso de velocidade: P(profissional | excesso) = 30/90 = 1/3 ≈ 33,3%. O valor 15% (= 30/200) divide pelo total geral, e não pelo evento dado.