Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF, PF, Polícia Penal, Detran
Regra de três simples e composta
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Cai no edital de: PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Regra de três simples e composta
Essência. Relaciona grandezas diretamente (uma dobra, a outra dobra) ou inversamente proporcionais (uma dobra, a outra cai à metade). Em obra ou serviço, o caminho seguro é a quantidade de trabalho (homem-dia).
- Simples: monte a proporção; se inversa, inverta uma razão antes de multiplicar em cruz.
- Composta: compare cada grandeza só com a incógnita; direta mantém, inversa inverte; razão da incógnita = produto das demais.
- Trabalho = trabalhadores × dias (× horas/dia); desconte o já feito e divida o restante pela nova equipe.
- "Início do n-ésimo dia" = n − 1 dias completos.
- Inversas típicas: operários × dias; velocidade × tempo; horas/dia × dias. Direta: operários × km no mesmo prazo.
Exceções e distinções. 6 agentes em 10 h → 15 agentes: 6·10 = 15x → 4 h. 30 operários, 30 dias = 900 operário-dias; 2 saem no início do 5º dia: 120 feitos, 780 ÷ 28 ≈ 27,86 → atraso ≈ 1,86 dia. Reforço para 120 desde o início → 7,5 dias, mais que 1/5 do prazo (6).
Pegadinha Cebraspe. Contar "início do 5º dia" como 5 dias trabalhados → errado: são 4.
Lembre também: tratar operários × dias como direta; calcular os dois números quando o item compara com fração do prazo.
Visão geral
Relaciona grandezas diretamente proporcionais (uma dobra, a outra dobra) ou inversamente proporcionais (uma dobra, a outra cai à metade). Em problemas de obra/serviço, o caminho mais seguro é a quantidade de trabalho (homem-dia).
Regra
Simples: monte a proporção; se as grandezas forem inversas, inverta uma das razões antes de multiplicar em cruz. Ex.: 4 viaturas fazem a ronda em 6 h; 8 viaturas → 3 h (inversa).
Composta (método)
- Coloque a incógnita numa coluna e compare cada grandeza com ela, isoladamente.
- Diretamente proporcional → mantém a razão; inversamente → inverte.
- Razão da incógnita = produto das demais razões.
Método do trabalho (obras com mudança de equipe no meio)
- Trabalho total = nº de trabalhadores × dias (× horas/dia, se houver). Ex.: 10 operários × 6 dias = 60 operário-dias.
- Desconte o que já foi feito; divida o restante pela nova equipe.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos (30 operários fazem 10 km em 30 dias → 900 operário-dias)
- 2 operários saem no início do 5º dia: 4 dias com 30 = 120; restam 780; 780 ÷ 28 ≈ 27,86 dias → total ≈ 31,86 → atraso ≈ 1,86 dia (não 10).
- Reforço de 90 operários desde o início: 120 operários = 4× → 30 ÷ 4 = 7,5 dias. 1/5 do prazo = 6 dias → 7,5 > 6 → não termina em menos de 1/5.
| Grandezas | Relação |
|---|---|
| Operários × dias (mesma obra) | Inversa |
| Operários × km produzidos (mesmo prazo) | Direta |
| Velocidade × tempo (mesma distância) | Inversa |
| Horas/dia × dias | Inversa |
Aprofundamento
Simples: duas grandezas. Monte a tabela, verifique se são diretas (setas no mesmo sentido) ou inversas (inverta uma razão) e resolva a proporção.
Composta: três ou mais grandezas. Método: isole a coluna da incógnita; compare cada outra grandeza com ela, mantendo as demais fixas (direta ou inversa); a razão da incógnita é igual ao produto das demais razões (invertidas quando inversas).
Exemplo (simples inversa): 6 agentes fiscalizam um trecho em 10 h; 15 agentes, no mesmo ritmo: 6·10 = 15·x → x = 4 h.
Exemplo (composta): 8 máquinas, trabalhando 6 h/dia, sinalizam 120 km em 10 dias. Quantos dias para 12 máquinas, 8 h/dia, sinalizarem 180 km?
- dias × máquinas: inversa; dias × horas/dia: inversa; dias × km: direta.
- x = 10 · (8/12) · (6/8) · (180/120) = 10 · 0,667 · 0,75 · 1,5 = 7,5 dias.
Como o Cebraspe cobra
- Evento no meio da obra ("no início do quinto dia" = 4 dias já trabalhados): quem aplica a regra de três na obra inteira erra.
- Compara o novo prazo com uma fração do original (1/5, 1/3): calcule os dois números.
- Detalhe que torna o item errado: contar "início do 5º dia" como 5 dias trabalhados, ou tratar operários × dias como direta.
Revisão rápida
- Direta: mesma seta; inversa: inverte a razão.
- Composta: compare cada grandeza só com a incógnita.
- Obra: trabalho = pessoas × dias; subtraia o já feito.
- "Início do n-ésimo dia" = n − 1 dias completos.
- Confira sempre a comparação pedida (atraso, fração do prazo).
Mapa mental: Regra de três simples e composta
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Flashcards de Regra de três simples e composta
Tente lembrar antes de virar o card.
- Revelar resposta
Obra com equipe que muda no meio (sai ou entra gente): como calcular o novo prazo?
Use o trabalho total = operários × dias (homem-dia). Desconte o já feito e divida o restante pelo novo efetivo. Operários × dias são inversamente proporcionais. Pegadinha: "no início do 5º dia" = 4 dias já trabalhados; e compare o prazo com a fração pedida (ex.: 1/5 do original).
- Revelar resposta
Regra de três simples: como decidir se é direta ou inversa — e como resolver a inversa sem erro?
Pergunte: se uma dobra, a outra dobra (direta: razão constante) ou cai à metade (inversa: produto constante)? Inversas típicas: máquinas × tempo, pessoas × dias, velocidade × tempo, eficiência × tempo. Na inversa, o produto é o "trabalho" fixo: 10 máq × 45,5 h = 455 → 7 máq: 65 h. "25% mais eficiente" → tempo ÷ 1,25 (não × 0,75).
- Revelar resposta
Regra de três composta (pessoas, horas/dia, dias, produção): qual o atalho do "trabalho total"?
Trabalho = pessoas × horas/dia × dias (pessoa·hora), proporcional à produção. Iguale: (P₁·h₁·d₁)/produção₁ = (P₂·h₂·d₂)/produção₂. Ex.: 16×9×6 = 864 = x×12×8 → x = 9. Armadilha: responder quantos ficaram quando se pede quantos saíram (ou o contrário).
Questões de Regra de três simples e composta
Questão 1 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
Três servidores digitalizam 600 documentos em 4 horas. Mantido o mesmo ritmo de trabalho, seis servidores digitalizarão 1.800 documentos em:
- A)
6 horas.
- B)
8 horas.
- C)
12 horas.
- D)
4 horas.
- E)
3 horas.
Revelar gabarito
Gabarito: letra A
Cada servidor digitaliza 600 / (3 · 4) = 50 documentos por hora. Seis servidores fazem 300 por hora, então 1.800 / 300 = 6 horas. Na regra de três composta, tempo e documentos são diretamente proporcionais, e tempo e servidores, inversamente: 4 · (1.800/600) · (3/6) = 6. Esquecer que mais servidores reduzem o tempo leva a 12 horas (C).
- A)
Questão 2 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
Cinco máquinas iguais realizam um serviço em 12 dias. Mantido o mesmo ritmo, seis máquinas iguais realizarão o mesmo serviço em:
- A)
14,4 dias.
- B)
8 dias.
- C)
11 dias.
- D)
10 dias.
- E)
9 dias.
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
Mais máquinas, menos dias: grandezas inversamente proporcionais. 5 · 12 = 6 · x, logo x = 60/6 = 10 dias. Tratar como direta dá 12 · 6/5 = 14,4 (A).
- A)
Questão 3 · Agente Administrativo PRF · Múltipla escolha
Se 3 kg de um produto custam R$ 12,00, então 7 kg do mesmo produto custam:
- A)
R$ 21,00
- B)
R$ 24,00
- C)
R$ 30,00
- D)
R$ 28,00
- E)
R$ 36,00
Revelar gabarito
Gabarito: letra D
Cada kg custa 12/3 = 4, e 7 · 4 = 28. Peso e preço são diretamente proporcionais: 3/12 = 7/x, logo x = 28.
- A)