Raciocínio Lógico-Matemático · Concurso PRF, PF, Polícia Penal, Detran
Porcentagem, variação percentual e juros simples
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Cai no edital de: PRF, Agente Administrativo PRF, Agente PF, Escrivão PF, Papiloscopista PF, Agente Administrativo PF, Polícia Penal Federal, Detran, Detran-PR, Detran-DF
Resumo: Porcentagem, variação percentual e juros simples
Essência. p% = p/100. O Cebraspe cobra variação percentual (dados lidos de gráfico), aumentos e descontos sucessivos e juros simples em contexto. Tudo vira fator multiplicativo.
- Fatores: +p% → × (1 + p/100); −p% → × (1 − p/100).
- Sucessivos: multiplique os fatores; nunca some as porcentagens.
- Variação percentual = (final − inicial)/inicial.
- Juros simples: J = C·i·t; M = C(1 + it), com i e t na mesma unidade. Compostos: M = C(1 + i)ᵗ.
- Porcentagem de porcentagem: 30% de 40% = 12%.
- Pontos percentuais: de 10% para 15% = +5 p.p., mas +50% relativo.
- Valor original: depois de +25% custa 250 → 250/1,25 = R$ 200.
Exceções e distinções. Acidentes 110 mil → 141 mil = +28,2%. Multa R$ 500 com −20% e −5% → R$ 380 (desconto equivalente de 24%). +20% e −20% → fator 0,96 (perde 4%). 10% ao mês composto por 2 meses = 21%. R$ 2.000 a 2% a.m. simples por 8 meses → R$ 2.320.
Pegadinha Cebraspe. "Aumento de p% seguido de desconto de p% volta ao valor original" → errado: fica abaixo.
Lembre também: variação calculada sobre o valor final; lucro sobre custo × sobre venda (R$ 20 = 20% da venda de R$ 100, 25% do custo de R$ 80).
Visão geral
p% = p/100. O Cebraspe cobra variação percentual entre dois valores (geralmente lidos de gráfico), aumentos/descontos sucessivos e, às vezes, juros simples em contexto.
Regra
- Fator multiplicativo: aumento de p% → × (1 + p/100); desconto de p% → × (1 − p/100). Ex.: +15% → × 1,15; −30% → × 0,70.
- Sucessivos: multiplique os fatores. Não some as porcentagens. Ex.: +10% e +10% → × 1,21 (+21%).
- Variação percentual: (final − inicial) / inicial. A base é sempre o valor de partida. Ex.: 80 → 100 = +25%; 100 → 80 = −20%.
- Juros simples: J = C·i·t; M = C·(1 + i·t) (i e t na mesma unidade de tempo). Ex.: R$ 1.000 a 2% a.m. por 5 meses → J = R$ 100.
- Juros compostos (comparação): M = C·(1 + i)ᵗ.
Método
- Identifique a base (valor inicial).
- Converta cada mudança em fator.
- Multiplique; compare com o número do item.
Pontos-chave
Exemplos resolvidos
- Acidentes: 110 mil (2005) → 141 mil (2008): 31/110 ≈ 0,282 = 28,2% → "pelo menos 26%" ✔.
- Multa R$ 500 com 20% e depois 5%: 500 × 0,80 × 0,95 = R$ 380 (não R$ 375; o desconto único equivalente é 24%, não 25%).
- Juros simples 2% a.m. sobre R$ 2.000 por 8 meses: 2.000 × (1 + 0,16) = R$ 2.320.
| Operação | Fator |
|---|---|
| +20% | 1,20 |
| −20% | 0,80 |
| +20% e depois −20% | 0,96 (perde 4%) |
| −20% e depois −5% | 0,76 (−24%) |
Aprofundamento
Mais aplicações
- Porcentagem de porcentagem: 30% de 40% = 0,3·0,4 = 12%.
- Pontos percentuais × porcentagem: passar de 10% para 15% é aumento de 5 p.p., mas de 50% em termos relativos.
- Taxa equivalente (compostos): 10% ao mês por 2 meses = 1,1² − 1 = 21% (não 20%).
- Descobrir o valor original: depois de +25% custa R$ 250 → original = 250/1,25 = R$ 200 (não 250 − 25%).
- Lucro sobre custo × sobre venda: lucro de 20% sobre a venda de R$ 100 = R$ 20; sobre o custo de R$ 80 = 25%.
Como o Cebraspe cobra
- Soma descontos/aumentos sucessivos (20% + 5% = 25%): errado.
- Calcula variação sobre o valor final em vez do inicial.
- Aumento de p% seguido de desconto de p% "volta ao valor original": errado (fica abaixo).
- Detalhe que torna o item errado: a base da porcentagem e a ordem de comparação ("maior que" × "menor que").
Revisão rápida
- Porcentagem = fração de 100.
- Sucessivos: multiplique fatores.
- Variação = Δ / valor inicial.
- +p% e −p% não se anulam.
- J = C·i·t; M = C(1 + it).
- Compostos: M = C(1 + i)ᵗ.
Mapa mental: Porcentagem, variação percentual e juros simples
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Flashcards de Porcentagem, variação percentual e juros simples
Tente lembrar antes de virar o card.
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Dois descontos sucessivos de p1% e p2% equivalem a somar p1+p2? Por que não?
Não. Equivalem a multiplicar por (1−p1/100)×(1−p2/100), resultando num desconto único menor que a soma p1+p2 — pegadinha clássica de prova.
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Como calcular a variação percentual entre dois valores?
(final − inicial) / inicial × 100. A base é sempre o valor de partida. Pegadinha: dividir pelo valor final (ou pelo maior) muda o resultado.
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Juros simples: qual a fórmula dos juros e do montante?
J = C·i·t; M = C·(1 + i·t) — i e t na mesma unidade de tempo. Pegadinha: não confundir com juros compostos, M = C·(1 + i)ᵗ.
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Após um aumento de i%, como recuperar o valor original?
Original = valor final ÷ (1 + i). Ex.: 90 ÷ 1,20 = 75. Após desconto de i%: final ÷ (1 − i). Pegadinha: tirar i% do valor final (90 − 20% = 72, errado).
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Pontos percentuais × variação percentual: qual a diferença?
Pontos percentuais = diferença absoluta entre taxas (8% → 10% = 2 p.p.). Variação relativa = (10 − 8)/8 = 25%. Pegadinha: chamar 2 p.p. de "aumento de 2%".
Questões de Porcentagem, variação percentual e juros simples
Questão 1 · PRF · Certo ou Errado
Um veículo apreendido pela PRF ficou retido em pátio conveniado, gerando uma taxa diária de estadia. Se essa taxa fosse cobrada, hipoteticamente, sob o regime de juros simples de 2% ao mês sobre um valor inicial de R$ 2.000,00, o montante acumulado ao final de 8 meses seria de R$ 2.320,00.
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Gabarito: Certo
Certo. No regime de juros simples, M = C×(1 + i×n) = 2.000×(1 + 0,02×8) = 2.000×1,16 = 2.320,00.
Questão 2 · PRF · Certo ou Errado
O valor de uma multa de trânsito no valor original de R$ 500,00 pode ser reduzido em 20% se o infrator optar pelo pagamento antecipado, com desconto adicional de 5% para pagamento à vista sobre o valor já reduzido. Nessa situação, o valor final pago pelo infrator é inferior a R$ 375,00.
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Gabarito: Errado
Errado. Aplicando o desconto de 20%: 500×0,80=400,00. Aplicando o desconto adicional de 5% sobre R$ 400,00: 400×0,95=380,00. Como 380,00 não é inferior a 375,00, a afirmação é falsa — descontos sucessivos de 20% e 5% não equivalem a um desconto único de 25%.
Questão 3 · PRF · Certo ou Errado
Se o preço do litro de combustível sofrer um aumento de 10% e, no mês seguinte, uma redução de 10%, o preço final será igual ao preço inicial.
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Gabarito: Errado
Errado. Fatores: 1,10 × 0,90 = 0,99. O preço final é 99% do inicial, ou seja, 1% menor. Aumento e desconto de mesma taxa não se anulam.
Questão 4 · PRF · Certo ou Errado
Após um reajuste de 20%, a diária de estadia de um veículo em pátio conveniado passou a custar R$ 90,00. Nessa situação, o valor da diária antes do reajuste era de R$ 75,00.
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Gabarito: Certo
Certo. Valor original = 90/1,20 = 75. Conferência: 75 × 1,20 = 90. (Subtrair 20% de 90 daria R$ 72,00, o que seria errado.)
Questão 5 · PRF · Certo ou Errado
Se a proporção de veículos fiscalizados autuados por excesso de velocidade passou de 8% para 10%, houve aumento de 2 pontos percentuais, o que corresponde a um aumento relativo de 25%.
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Gabarito: Certo
Certo. Diferença absoluta: 10% − 8% = 2 p.p. Variação relativa: (10 − 8)/8 = 2/8 = 0,25 = 25%.